wymierne czy tez nie?
-
- Użytkownik
- Posty: 2234
- Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 390 razy
wymierne czy tez nie?
Szczerze mówiąc nie chce mi się za bardzo upewniać, ale powinno być podobnie jak z sinusem, patrz tu:
https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=33940
https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=33940
- dabros
- Użytkownik
- Posty: 1121
- Rejestracja: 2 cze 2006, o 21:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 48 razy
- Pomógł: 4 razy
wymierne czy tez nie?
ale jaki wzor zastosowac do tangensa zamiast jedynki trygonometrycznej (bo przeciez gdy sin1 i cos1 sa niewymierne, to tg1 moze byc wymierny); czekam na dalsze wyjasnienia lub inne propozycje
-
- Użytkownik
- Posty: 5405
- Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: a z Limanowej
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 422 razy
wymierne czy tez nie?
Można na przykład niewprost założyć, że tg 1 jest wymierne. Wiedząc to, wiemy, że tg 3 też byłby wymierny, jako suma skończona czterech podstawowych działań. Jednak z drugiej strony możemy policzyć tg (75-72) i nie otrzymamy liczby wymiernej, co prowadzi do oczekiwanej sprzeczności, więc tg 1 nie jest wymierną liczbą.
-
- Użytkownik
- Posty: 5405
- Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: a z Limanowej
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 422 razy
wymierne czy tez nie?
Jasne, że można.
Przyjmujemy niewprost, że tg1 jest liczbą wymierną. Teraz dwukrotnie ze wzorów na tangens sumy mamy:
\(\displaystyle{ \tan 2^{o} = \tan (1+1)^{o} = \frac{2\tan 1^{o}}{1-\tan^{2} 1^{o}} \\ \tan 3^{o} = \tan (2+1)^{o} = \frac{\tan 2^{o} + \tan 1^{o}}{1-\tan 2^{o} \tan 1^{o}} = \frac{\frac{2\tan 1^{o}}{1-\tan^{2} 1^{o}} + \tan 1^{o}}{1-\tan 1^{o} \frac{2\tan 1^{o}}{1-\tan^{2} 1^{o}}}}\)
Można to oczywiście poupraszczać, ale nam już to nie jest konieczne, bo zauważmy, że tg 3 jest tutaj wyrażony poprzez cztery działania wymierne, więc wynik tego działania musi być wymierny, zgodnie z założeniem o wymierności tg 1.
Jednak możemy sobie spokojnie policzyć, że
\(\displaystyle{ \tan 3^{o} = \tan(75-72)^{o} = \frac{\tan 75^{o} - \tan 72^{o}}{1+\tan 75^{o} \tan 72^{o}} = \frac{2+\sqrt{3} - \sqrt{2} + 1}{1+(2+\sqrt{3})(\sqrt{2}-1)} = \frac{3+\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{6} + 2\sqrt{2} - \sqrt{3} - 1} = \frac{3+\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2\sqrt{2}(\sqrt{3}+1) - (\sqrt{3}+1)} = \frac{3+\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+1)(2\sqrt{2}-1)} = \frac{(3+\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}-1)(2\sqrt{2}+1)}{14}}\)
W liczniku jest liczba niewymierna (wymnóż sobie jak nie wierzysz, mnie się nie kce już ;p), mianownik jak najbardziej wymierny, co dowodzi sprzeczności z naszym założeń, więc tg3 jest niewymierny.
Tak tak, wiem, bardzo to brzydkie i brutalne, ale skuteczne ;]
Przyjmujemy niewprost, że tg1 jest liczbą wymierną. Teraz dwukrotnie ze wzorów na tangens sumy mamy:
\(\displaystyle{ \tan 2^{o} = \tan (1+1)^{o} = \frac{2\tan 1^{o}}{1-\tan^{2} 1^{o}} \\ \tan 3^{o} = \tan (2+1)^{o} = \frac{\tan 2^{o} + \tan 1^{o}}{1-\tan 2^{o} \tan 1^{o}} = \frac{\frac{2\tan 1^{o}}{1-\tan^{2} 1^{o}} + \tan 1^{o}}{1-\tan 1^{o} \frac{2\tan 1^{o}}{1-\tan^{2} 1^{o}}}}\)
Można to oczywiście poupraszczać, ale nam już to nie jest konieczne, bo zauważmy, że tg 3 jest tutaj wyrażony poprzez cztery działania wymierne, więc wynik tego działania musi być wymierny, zgodnie z założeniem o wymierności tg 1.
Jednak możemy sobie spokojnie policzyć, że
\(\displaystyle{ \tan 3^{o} = \tan(75-72)^{o} = \frac{\tan 75^{o} - \tan 72^{o}}{1+\tan 75^{o} \tan 72^{o}} = \frac{2+\sqrt{3} - \sqrt{2} + 1}{1+(2+\sqrt{3})(\sqrt{2}-1)} = \frac{3+\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{6} + 2\sqrt{2} - \sqrt{3} - 1} = \frac{3+\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2\sqrt{2}(\sqrt{3}+1) - (\sqrt{3}+1)} = \frac{3+\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+1)(2\sqrt{2}-1)} = \frac{(3+\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}-1)(2\sqrt{2}+1)}{14}}\)
W liczniku jest liczba niewymierna (wymnóż sobie jak nie wierzysz, mnie się nie kce już ;p), mianownik jak najbardziej wymierny, co dowodzi sprzeczności z naszym założeń, więc tg3 jest niewymierny.
Tak tak, wiem, bardzo to brzydkie i brutalne, ale skuteczne ;]
- max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
wymierne czy tez nie?
Możnaby też wykazać indukcyjnie, że:
\(\displaystyle{ \tan 1^{\circ} \mathbb{Q} \forall n\in \mathbb{N}\, (\forall k \mathbb{N} \, (n^{\circ} 90^{\circ} + k\cdot 180^{\circ}) \tan n^{\circ}\in \mathbb{Q})}\)
a następnik implikacji jest bzdurą oczywistą c.k.d.
\(\displaystyle{ \tan 1^{\circ} \mathbb{Q} \forall n\in \mathbb{N}\, (\forall k \mathbb{N} \, (n^{\circ} 90^{\circ} + k\cdot 180^{\circ}) \tan n^{\circ}\in \mathbb{Q})}\)
a następnik implikacji jest bzdurą oczywistą c.k.d.