Całka potrójna

[zeeed]

Jak policzyć taką całkę:
\(\displaystyle{ \int_{}^{}\int_{V}^{}\int_{}^{}}\) dxdydz
gdzie
\(\displaystyle{ V}\) jest ograniczony powierzchniami \(\displaystyle{ z = x^2+y^2}\) oraz \(\displaystyle{ z=4x}\)
Wiem, że to trzeba przez współrzędne walcowe ale mi nic nie wychodzi :

[Nty]

nie koniecznie musimy przechodzić na współrzędne walcowe można też tak

\(\displaystyle{ V:=\{ (x,y,z) \textbf{R}^3: z=x^2+y^2 z=4x \}}\)

\(\displaystyle{ \int_{D}\left( t_{x^2+y^2}^{4x}dz\right) d(x,y)\stackrel{\star}{=}}\)

\(\displaystyle{ D:=\{ (x,y) \textbf{R}^2: y^2+(x-2)^2ft\{ \begin{array}{ccc} x&=&u+2 \\ y&=&v \end{array}\right.}\)
\(\displaystyle{ |\Phi ' |=1}\)
\(\displaystyle{ S:=\{ (u,v) \textbf{R}^2 : u^2+v^2t_{S}(u^2+v^2)d(u,v)\stackrel{\star}{=}}\)

\(\displaystyle{ \Psi: (0,2\pi) (0,2) \mathbb R^2 \setminus ft\{(u, 0) \mathbb R^2: u q 0\right\}}\)
\(\displaystyle{ \Psi: ft\{ \begin{array}{ccc} u&=&r\cos{t} \\ v&=&r\sin{t} \end{array}\right.}\)
\(\displaystyle{ | \Psi ' |=r}\)
\(\displaystyle{ \stackrel{\star}{=}16\pi - t_{0}^{2\pi} dt t_{0}^{2} r^3 dr=8\pi}\)

[Grzegorz t]

a nie lepiej przejść na całki podwójne zapis z zadania oznacza objętość obszaru zatem można zapisać ją tak: \(\displaystyle{ \int\int(4x-x^2-y^2)dxdy}\) \(\displaystyle{ x=q\cos\phi, y=q\sin\phi}\) gdzie \(\displaystyle{ \phi\in[0,2\pi], q\in[0,4\cos\phi]}\) i policzyć we wspołrzędnych biegunowych

[Nty]

\(\displaystyle{ \phi\in[0,2\pi]}\)

Wszystko ładnie tylko \(\displaystyle{ \phi [0, \frac{\pi}{2}] \cup [\frac{3}{2}\pi, 2\pi]}\)
lub opcjonalnie \(\displaystyle{ \phi [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} ]}\)

A jak byśmy chciali przejść na współrzędne walcowe
\(\displaystyle{ \Psi: (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) (0,4\cos{\phi}) (r^2,4r\cos{\phi}) \mathbb R^3 \setminus ft\{(x,y,z) \mathbb R^3: x q 0, y=0\right\}}\)
\(\displaystyle{ \Psi: ft\{ \begin{array}{ccc} x&=&r\cos{\phi} \\ y&=&r\sin{\phi} \\ z&=&\hat{z}\end{array}\right.}\)
\(\displaystyle{ | \Psi ' |=r}\)

, to tak wyglądała by całka

\(\displaystyle{ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} d\phi t_{0}^{4\cos\phi} dr t_{r^2}^{4r\cos{\phi}}r d \hat{z}=8\pi}\)