Pewna liczba naturalna w układzie dziesiętnym ma postać x0yz, gdzie x,y,z są cyframi, x>0. Liczba ta podzielona przez pewną liczbę naturalną n daje iloraz, który w układzie dziesiętnym jest postaci xyz. Znaleźć x,y,z i n.
----------------------
Jest to zadanie z dawnych wstępnych egzaminów do Staszica w Warszawie. Proszę o pomoc
Podzielność
-
scyth
- Użytkownik
- Posty: 6392
- Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 1087 razy
Podzielność
Przekształcamy:
\(\displaystyle{ 1000x+10y+z=100nx+10ny+nz \\
100x(10-n)=(10y+z)(n-1)}\)
Stąd widać, że \(\displaystyle{ n \in (1;10>}\).
Gdy \(\displaystyle{ n=10}\) to wtedy musi być \(\displaystyle{ 10y+z=0 y=z=0}\) i ostatecznie \(\displaystyle{ x \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\} \ y=0 \ z=0}\).
Niech \(\displaystyle{ n }\).
Lewa strona jest parzysta, więc prawa musi być parzysta, zatem \(\displaystyle{ z \{0,2,4,6,8\}, \ n \{3,5,7,9\}}\).
Dla \(\displaystyle{ n=3}\) mamy:
\(\displaystyle{ 700x=2(10y+z) 50x=10y+z}\) - zatem musi być \(\displaystyle{ z=0, \ y=5, \ x=1}\).
Dla \(\displaystyle{ n=9}\) mamy:
\(\displaystyle{ 100x=8(10y+z) 25x=20y+2z}\) - ponieważ z jest parzyste i 2z ma być wielokrotnością 5 to \(\displaystyle{ z=0}\). Zatem \(\displaystyle{ 25x=20y 5x=4y}\), czyli \(\displaystyle{ x=4, \ y=5}\).
Podsumowując szukane rozwiązania to:
- \(\displaystyle{ n=10, \ x \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\} \ y=0 \ z=0}\)
- \(\displaystyle{ n=7, \ z=0, \ y=5, \ x=1}\)
- \(\displaystyle{ n=9 \ z=0, \ y=5, \ x=4}\).
\(\displaystyle{ 1000x+10y+z=100nx+10ny+nz \\
100x(10-n)=(10y+z)(n-1)}\)
Stąd widać, że \(\displaystyle{ n \in (1;10>}\).
Gdy \(\displaystyle{ n=10}\) to wtedy musi być \(\displaystyle{ 10y+z=0 y=z=0}\) i ostatecznie \(\displaystyle{ x \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\} \ y=0 \ z=0}\).
Niech \(\displaystyle{ n }\).
Lewa strona jest parzysta, więc prawa musi być parzysta, zatem \(\displaystyle{ z \{0,2,4,6,8\}, \ n \{3,5,7,9\}}\).
Dla \(\displaystyle{ n=3}\) mamy:
\(\displaystyle{ 700x=2(10y+z) 50x=10y+z}\) - zatem musi być \(\displaystyle{ z=0, \ y=5, \ x=1}\).
Dla \(\displaystyle{ n=9}\) mamy:
\(\displaystyle{ 100x=8(10y+z) 25x=20y+2z}\) - ponieważ z jest parzyste i 2z ma być wielokrotnością 5 to \(\displaystyle{ z=0}\). Zatem \(\displaystyle{ 25x=20y 5x=4y}\), czyli \(\displaystyle{ x=4, \ y=5}\).
Podsumowując szukane rozwiązania to:
- \(\displaystyle{ n=10, \ x \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\} \ y=0 \ z=0}\)
- \(\displaystyle{ n=7, \ z=0, \ y=5, \ x=1}\)
- \(\displaystyle{ n=9 \ z=0, \ y=5, \ x=4}\).
-
niewiadomo
- Użytkownik
- Posty: 119
- Rejestracja: 17 paź 2006, o 17:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z nikąd
- Podziękował: 7 razy
Podzielność
Znalazłem jeszcze takie rozwiązania, sposób podam później bo się śpieszę, chyba że ktoś mnie wyręczy
x y z n
6 7 5 9
1 8 0 6
2 2 5 9
scyth, zapomniał że nie tylko Parzysta*Parzysta=Parzysta ale również Nieparzysta*Parzysta=Parzysta,
x y z n
6 7 5 9
1 8 0 6
2 2 5 9
scyth, zapomniał że nie tylko Parzysta*Parzysta=Parzysta ale również Nieparzysta*Parzysta=Parzysta,
Ostatnio zmieniony 22 sie 2007, o 17:03 przez niewiadomo, łącznie zmieniany 1 raz.
-
niewiadomo
- Użytkownik
- Posty: 119
- Rejestracja: 17 paź 2006, o 17:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z nikąd
- Podziękował: 7 razy
Podzielność
Ja miałem trochę inne rozwiązanie, ale to było bardziej intuicyjne, podeprze się troch rozw. scytha
Wiemy że n5, ponieważ jeżeli pomnożymy liczbę 3-cyfrową przez cyfrę i mamy otrzymać liczbę 4-cyfrową, której cyfra tysięcy jest równa cyfrze setek w pierwszej liczbie to n>5.
Tak więc pozostaje nam sprawdzenie jeszcze 4 możliwości dla n=6,7,8,9.
\(\displaystyle{ Dla \ n=6 \\ 100x(10-n)=(10y+z)(n-1) \\ 400x=5(10y+z) \\80x=(10y+z)}\)
10y+z
Wiemy że n5, ponieważ jeżeli pomnożymy liczbę 3-cyfrową przez cyfrę i mamy otrzymać liczbę 4-cyfrową, której cyfra tysięcy jest równa cyfrze setek w pierwszej liczbie to n>5.
Tak więc pozostaje nam sprawdzenie jeszcze 4 możliwości dla n=6,7,8,9.
\(\displaystyle{ Dla \ n=6 \\ 100x(10-n)=(10y+z)(n-1) \\ 400x=5(10y+z) \\80x=(10y+z)}\)
10y+z