Zadanie dowodowe z geometrii trójkąta...

[kuma]

Dany jest trójkąt MBC oraz takie punkty A i D, leżące odpowiednio na bokach MB i MC, że na czworokącie ABCD można opisać okrąg. Odcinki AC i BD przecinają się w punkcie E, a półproste w punkcie E, a półprosta ME jest dwusieczną kąta BMC. Wykaż, że |MB|=|MC|.

-------------------------------
Jak to zrobić? Proszę o pomoc

Temat zmieniłam.Proszę o pisanie bardziej dokładnych tematów.

[Grzegorz t]

Jakie półproste w punkcie \(\displaystyle{ E}\) są jakeś dwie półproste proszę jaśniej to napisać

[kuma]

Przepraszam pomyłka przy przepisywaniu. Oto poprawnie przepisane zadanie:

Dany jest trójkąt MBC oraz takie punkty A i D, leżące odpowiednio na bokach MB i MC, że na czworokącie ABCD można opisać okrąg. Odcinki AC i BD przecinają się w punkcie E, a półprosta ME jest dwusieczną kąta BMC. Wykaż, że |MB|=|MC|.

Posty poprawia się za pomocą umieszczonego w prawym górnym rogu postu przycisku "zmień". To tak na przyszłość. Calasilyar

[Justka]

Pomocniczy rysunek:

Czworokąt ABCD jest trapezem. Aby można było opisać na nim okrąg musi być spełniony warunek :\(\displaystyle{ \alpha+\gamma=\beta+\delta}\).
Z uwagi na to, że jest to trapez i wiedząc, że kąty przy tym samym ramieniu dają w sumie \(\displaystyle{ 180^o}\) to możemy napisać:
\(\displaystyle{ \alpha=180^o-\delta\\
\beta=180^o-\gamma}\)
I podstawiamy do założenia:
\(\displaystyle{ 180^o-\delta+\gamma=180^o-\gamma+\delta\\
2\delta=2\gamma\\
\delta=\gamma}\)
Z tego wniosek, że trapez jest równoramienny, poniewaz katy przy podstawie są równe.

Więc juz mozna stwierdzić, że |MB|=|MC| dlatego, że kąty \(\displaystyle{ \delta}\) i \(\displaystyle{ \gamma}\) są katami trójkata MBC. A wiedomo, że trójkąt którego katy przy podstawie mają taka samą rozwartość jest równoramienny.
Idąc dalej odcinki |AC| i |BD|, które są przekątnymi trapezu także muszą być równe. Przecinają się one w punkcie E leżącym dokładnie na symetralnej odcinków BC i AD. Czyli na prostej (nawijmy ją \(\displaystyle{ k}\)). Prosta \(\displaystyle{ k}\) jest prostopadła do BC czyli jest wysokością trojkata MBC. A wiemy, że w trójkącie równoramiennym wysokość dzieli kąt nie leżący w podstawie na połowy. A więc udowodniliśmy fakt, że półprosta ME jest dwusieczną kąta \(\displaystyle{ \epsilon}\)
Myslę, że to starczy aby udowodnić, że |MB|=|MC|

Pozdrawiam

[Gregorias]

Justka, zgodzę się z twoim rozwiązaniem, ale przedstaw mi tylko dowód na to, że czworokąt ABCD jest trapezem. Też się zastanawiałem nad tym zadaniem i to samo mi wyszło (gdyż byłem pewien, że to trapez) tyle, że nie wiedziałem jak udowodnić na 100%, że ABCD to trapez(nie wiem, mam jakieś zaćmy ostatnio przy rozwiązywaniu zadań )

[kuma]

No właśnie, w jaki sposób udowodnić, że czworokąt ABCD jest trapezem Mając to można by rozwiązać to zadanie tak jak zrobiła to Justka.

[Justka]

hm.. to bedzie trudne. Jak robiłam to zadanie to poprostu stwierdziłam że to musi byc trapez. Ale teraz widzę, że to nie jest takie oczywiste Jutro napisze dowód, jak coś wymyślę
A wy też pomyślcie

[Gregorias]

Hehe... myślę, że mam. Wystarczyło tylko, że rozrysuję kąty w tym trójkącie i czworokącie. Jako, iż jest późno, a nie mam narzędzi do rysowania takich rzeczy(Justka możesz powiedzieć co ty używasz?) to powiem tylko żebyście sobie kąt jaki dzieli dwusieczna oznaczyli jako alfa, a kąty jakie tworzy ona przy naprzeciwległym boku jako: beta i 180-beta. Wyjdzie wam, że to jest trapez i co więcej, że dwusieczna jest wysokością. Proszę sprawdzcie to i powiedzcie czy dobrze, bo wciąż nie wiem po co w zadaniu jest powiedziane, że dwusieczna przecina punkt E :/ . Czyżbym coś ominął?

PS Przepraszam za brak LaTeX, ale jest późno, a ja się go nie nauczyłem jeszcze.

[kuma]

Myślę, że wreszcie rozwiązałem to zadanie. Pomógł mi rysunek Justki (tylko inaczej na to popatrzyłem).

Rozpatrzmy trójkąty \(\displaystyle{ MEC}\) i \(\displaystyle{ MDB}\).
Kąty przy wierzchołku M w obu trójkątach są równe (bo tam była dwusieczna).
Kąt MCE jest równy kątowi DBM jako oparte na tym samym łuku i odcinek ME jest wspólny więc na podstawie cechy KBK są to trójkąty przystające, więc \(\displaystyle{ |MB|=|MC|}\)

[Gregorias]

Kuma, masz rację . Jak teraz patrzę to trochę z tych kątów to się pospieszyłem z wnioskiem i chyba jednak nie wyjdzie to co myślałem .

[Justka]

Tak, Kuma masz rację. Więc mamy problem z głowy Też wczoraj próbowałam kombinowac troche z kątami, ale nie mogłam już nic wymyśleć. Teraz widzę, że to wcale nie było trudne do zauważenia.

Justka możesz powiedzieć co ty używasz?

Gregorias ja używam GeonexTa, bardzo fajny prosty w obsłudze programik Jak chcesz pobrać to prosze--->

Kod: Zaznacz cały

http://geonext.uni-bayreuth.de/

Pozdrawiam