Witam błagam pokażcie mi jak się rozwiązuje równania typu :
1. \(\displaystyle{ (-2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}i)\overline{z} = -z^{3}}\)
2. \(\displaystyle{ (-\sqrt{3} + i)\overline{z}^{3} = -8z}\)
Będę bardzo wdzięczny za dokładne rozwiązanie krok po kroku bo chcialbym zrozumieć sposób rozwiązywania. Wiem że trzeba/można skorzystać z postaci wykładniczej....
Równanie ...
-
alia
- Użytkownik
- Posty: 102
- Rejestracja: 20 sie 2007, o 21:39
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 23 razy
Równanie ...
ad.1.
niech \(\displaystyle{ z=Re^{i\phi}}\), wtedy \(\displaystyle{ \overline{z}=Re^{-i\phi}}\)
podstawiamy do równania i otrzymujemy
\(\displaystyle{ (-2\sqrt{2}+2\sqrt{2}i)=R^2e^{4i\phi}}\)
lewą stronę przedstawiamy w postaci trygonometrycznej, a później wykładniczej
\(\displaystyle{ (-2\sqrt{2}+2\sqrt{2}i)=4(\cos{\frac{3\pi}{4}+i\sin{\frac{3\pi}{4}})=4e^{i\frac{3\pi}{4}}}\)
porównujemy z prawą stronę równania i otrzymujemy
\(\displaystyle{ R=2 ,\qquad 4\phi=\frac{3\pi}{4}+2k\pi}\) gdzie \(\displaystyle{ k\in Z}\) czyli
\(\displaystyle{ \phi=\frac{3\pi}{16}+\frac{k\pi}{2}}\)
Chcemy, żeby argument \(\displaystyle{ \phi}\) był z przedziału \(\displaystyle{ [0,\pi]}\)
czyli k=0 , k=1 i odpowiednio
\(\displaystyle{ z_1=2e^{\frac{3\pi}{16}i}, z_2=2e^{\frac{11\pi}{16}i}}\)
i oczywiście \(\displaystyle{ z_3=0.}\) - wynika z postaci równania.
niech \(\displaystyle{ z=Re^{i\phi}}\), wtedy \(\displaystyle{ \overline{z}=Re^{-i\phi}}\)
podstawiamy do równania i otrzymujemy
\(\displaystyle{ (-2\sqrt{2}+2\sqrt{2}i)=R^2e^{4i\phi}}\)
lewą stronę przedstawiamy w postaci trygonometrycznej, a później wykładniczej
\(\displaystyle{ (-2\sqrt{2}+2\sqrt{2}i)=4(\cos{\frac{3\pi}{4}+i\sin{\frac{3\pi}{4}})=4e^{i\frac{3\pi}{4}}}\)
porównujemy z prawą stronę równania i otrzymujemy
\(\displaystyle{ R=2 ,\qquad 4\phi=\frac{3\pi}{4}+2k\pi}\) gdzie \(\displaystyle{ k\in Z}\) czyli
\(\displaystyle{ \phi=\frac{3\pi}{16}+\frac{k\pi}{2}}\)
Chcemy, żeby argument \(\displaystyle{ \phi}\) był z przedziału \(\displaystyle{ [0,\pi]}\)
czyli k=0 , k=1 i odpowiednio
\(\displaystyle{ z_1=2e^{\frac{3\pi}{16}i}, z_2=2e^{\frac{11\pi}{16}i}}\)
i oczywiście \(\displaystyle{ z_3=0.}\) - wynika z postaci równania.