z seri wykaż, że

[sobota]

1.Wykaż, że dla dowolonych liczb rzeczywistych a, b, c prawdziwa jest nierówność: \(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}+c^{2}\geqslant ab+ac+bc}\)

2: Wykaż, że jeśi \(\displaystyle{ x+y+z=0}\), to \(\displaystyle{ xy+yz+zx\leqslant 0}\)

[przemk20]

\(\displaystyle{ (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 q 0 \\}\)

[Tristan]

Ad 2:
Skoro \(\displaystyle{ x+y+z=0}\), to \(\displaystyle{ (x+y+z)^2=0}\). Czyli \(\displaystyle{ x^2 +y^2 + z^2 + 2(xy+yz+zx)=0}\). Jednak \(\displaystyle{ x^2 + y^2 + z^2 q 0}\), więc \(\displaystyle{ -2(xy+yz+zx) q 0}\). Dzieląc obustronnie przez (-2) dostajemy tezę, tj. \(\displaystyle{ xy+yz+zx q 0}\).