[Nierówności] Nierówność sum potęg

[Piotr Rutkowski]

Niech \(\displaystyle{ a,b,c,k,l,m R_{+}}\). Wykazać, że:
\(\displaystyle{ a^{k+l+m}+b^{k+l+m}+c^{k+l+m} q a^{k}b^{l}c^{m}+a^{l}b^{m}c^{k}+a^{m}b^{m}c^{l}}\)

[bullay]

podpowiedz:
ciagi jednomonotoniczne.

[Piotr Rutkowski]

Ehem, ja rozwiązałem to zadanie. W tym dziale daję po prostu zadania, które mogą dać jakieś zajęcie na forum, więc napisz już pełne rozwiązanie jeśli możesz

[bullay]

Bez straty ogolnosci mozemy zalozyc, ze:
\(\displaystyle{ a\geq b\geq c}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}a^k&b^k&c^k\\a^l&b^l&c^l\\a^m&b^m&c^m\end{array}\right] q ft[\begin{array}{ccc}a^k&c^k&b^k\\b^l&a^l&c^l\\c^m&b^m&a^m\end{array}\right]}\)
Z lewej strony mamy ciagi jednomonotoniczne, a z prawej nie. Czyli:
\(\displaystyle{ a^{k+l+m}+b^{k+l+m}+c^{k+l+m} q a^{k}b^{l}c^{m}+a^{l}b^{m}c^{k}+a^{m}b^{m}c^{l}}\)