Zbadaj zbieżność szeregu.

zuza2006 · Post autor: **zuza2006** » 19 sie 2007, o 11:24

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin\sqrt{n}}{n}}\)

siNister · Post autor: **siNister** » 21 sie 2007, o 18:16

szereg jest zbiezny a opisze dlaczego, jak sobie texa przypomne ;P

[ Dodano: 21 Sierpnia 2007, 19:20 ]
jezeli za \(\displaystyle{ \sqrt{n}}\) podstawimy t i skorzystamy z zaleznosci ze \(\displaystyle{ |sint|}\)

zuza2006 · Post autor: **zuza2006** » 21 sie 2007, o 21:22

Dziękuję. Bardzo sprytne rozwiązanie.

mol_ksiazkowy · Post autor: **mol_ksiazkowy** » 21 sie 2007, o 21:44

siNister napisaL

wiedzac, ze szereg po drugiej stronie jest zbiezny, udowodnilismy ze nasz szereg jest zbiezny bezwzglednie.

ale
\(\displaystyle{ \sum_t \frac{1}{t^2}=+\infty}\)...?!
\(\displaystyle{ t^2=n}\)

zuza2006 · Post autor: **zuza2006** » 21 sie 2007, o 22:23

a nie:

\(\displaystyle{ \sum_{t=1}^{\infty}\frac{1}{t^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}}\)

setch · Post autor: **setch** » 21 sie 2007, o 22:26

mol_ksiazkowy, przecież szereg \(\displaystyle{ \sum_{t=1}^{\infty} \frac{1}{t^2}}\) jest zbieżny jako szereg harmoniczny stopnia drugiego.

Emiel Regis · Post autor: **Emiel Regis** » 21 sie 2007, o 22:36

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin\sqrt{n}}{n}}\)

Bezwzględnie to on na pewno nie jest zbieżny.
Tutaj też można by moduł licznika oszacować przez jeden. I wtedy taki harmoniczny nigdy nie będzie zbieżny.

zuza2006 · Post autor: **zuza2006** » 21 sie 2007, o 22:46

No to ja już sama nie wiem... Help...

Emiel Regis · Post autor: **Emiel Regis** » 21 sie 2007, o 22:49

Przyznam że też mam duże wątpliwości, ten sinus mógłby robić za czynnik 'minusotwórczy' i wtedy by nam wyszedł szereg podobny do:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}}\)
i byłby warunkowo zbieżny. Ale czy tak jest...

zuza2006 · Post autor: **zuza2006** » 21 sie 2007, o 23:04

\(\displaystyle{ \sin(x)>0 \ dla \ 0}\)

setch · Post autor: **setch** » 21 sie 2007, o 23:08

zuza2006, ale już \(\displaystyle{ \sqrt{16}=4 \not\in (0;\pi)}\)

zuza2006 · Post autor: **zuza2006** » 21 sie 2007, o 23:20

tak ale czy tu jest wobec tego szansa że szereg ten jest naprzemienny

przemk20 · Post autor: **przemk20** » 23 sie 2007, o 11:11

moze tak, niech
\(\displaystyle{ a_n = \frac{\sin (\sqrt{n})}{n} \\}\)
(1) zauwazmy, ze \(\displaystyle{ \bigwedge n N, \ \sqrt n k \pi + \frac{\pi}{2}}\) czyli
\(\displaystyle{ a_i < \frac{1}{i}, \ \ i\in N , \ wiec \\
\bigvee b_i \in R, \ a_i = \frac{1}{i^{b_i}}, \ b_i>1 \\}\)
niech
\(\displaystyle{ b_k = min. \ b_i, i N \\}\)
wtedy
\(\displaystyle{ \sum_{i=n}^{\infty} a_n < \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{b_k}}, \ \ b_k > 1 \\}\)

mol_ksiazkowy · Post autor: **mol_ksiazkowy** » 23 sie 2007, o 14:57

a co gdy....bk=1 ?

zuza2006 · Post autor: **zuza2006** » 23 sie 2007, o 15:30

przemk20 pisze: \(\displaystyle{ \bigvee b_i \in R, \ a_i = \frac{1}{i^{b_i}}, \ b_i>1}\)

a skąd to wiadomo

i że akurat wtedy \(\displaystyle{ b_i>1}\)

[ Dodano: 23 Sierpnia 2007, 15:53 ]
sorry za dublowanie swojego posta...

Drizzt pisze:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin\sqrt{n}}{n}}\)
Bezwzględnie to on na pewno nie jest zbieżny.
Tutaj też można by moduł licznika oszacować przez jeden. I wtedy taki harmoniczny nigdy nie będzie zbieżny.

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}}\) jest zbieżny bezwzględnie bo

\(\displaystyle{ 0}\)