zadanie z kiełbasy maturalne

[sobota]

Wykaż, że jeśli ai b są liczbami nieujemnymi, to \(\displaystyle{ \sqrt{ab}}\)≤\(\displaystyle{ \frac{a+b}{2}}\)

[soku11]

\(\displaystyle{ \sqrt{ab}\leqslant \frac{a+b}{2}\\
2\sqrt{ab}\leqslant a+b\\
4ab\leqslant (a+b)^{2}\\
a^{2}+2ab+b^{2}\geqslant 4ab\\
a^{2}-2ab+b^{2}\geqslant 0\\
(a-b)^{2}\geqslant 0}\)

A to jest oczywiscie spelnione dla kazdego a i b POZDRO

[sobota]

A no fakt;) ale jestem durna;P dzieki:*

[bullay]

soku11 po co podnosiles do kwadratu? Mozna bylo napisac:
\(\displaystyle{ (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\geq 0}\)

Mozna to tez zrobic na ciagach jednomonotonicznych.

[soku11]

Podnioslem bo nie lubie pierwiastkow Zaprezentuj moze to na tych ciagach bo jestem ciekawy jak to sie robi. POZDRO

[bullay]

Ciagi \(\displaystyle{ (\sqrt{a},\sqrt{b})}\) i \(\displaystyle{ (\sqrt{a},\sqrt{b})}\) sa jednomonotoniczne, wiec:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}\sqrt{a}&\sqrt{b}\\\sqrt{a}&\sqrt{b}\end{array}\right] q ft[\begin{array}{ccc}\sqrt{a}&\sqrt{b}\\\sqrt{b}&\sqrt{a}\end{array}\right]}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ a+b q 2\sqrt{ab}}\)

[mol_ksiazkowy]

\(\displaystyle{ \frac{a+b}{2}- \sqrt{ab}= \frac{1}{2}(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 q 0}\)