Wyznacz kresy dolny i górny jakie osiaga wyrazenie w, bedace funkcja trzech zmiennych a, b i c przy założeniu dodoatkowym iz ich suma wynosi jeden, tj znajdz stałe m - mozliwie najwieksza jak i M najmniejsza , tak aby zachodziło:
\(\displaystyle{ m \leq \sqrt{2a+1}+\sqrt{2b+1}+\sqrt{2c+1} \leq M}\)
a+b+c=1
[Nierówności] szacowanie wyrazenia
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11623
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3173 razy
- Pomógł: 754 razy
-
Sylwek
- Użytkownik
- Posty: 2716
- Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 160 razy
- Pomógł: 657 razy
[Nierówności] szacowanie wyrazenia
\(\displaystyle{ \sqrt{2a+1}+\sqrt{2b+1}+\sqrt{2c+1}=\sqrt{1(2a+1)}+\sqrt{1(2b+1)}+\sqrt{1(2c+1)} \\ \mathbb{D}: a,b,c \in \langle -\frac{1}{2};2\rangle}\)
Korzystam z nierówności pomiędzy średnią arytmetyczną i geometryczną:
\(\displaystyle{ \begin{cases}\sqrt{1(2a+1)} \leq \frac{1+2a+1}{2} \\ \sqrt{1(2b+1)} \leq \frac{1+2b+1}{2} \\ \sqrt{1(2c+1)} \leq \frac{1+2c+1}{2}\end{cases} \\
\sqrt{2a+1}+\sqrt{2b+1}+\sqrt{2c+1} \leq \frac{2a+2b+2c+6}{2}=a+b+c+3=1+3=4}\)
Równość zachodziłaby wtedy, gdy 2a+1=2b+1=2c+1=1, czyli a=b=c=0, ale to jest sprzeczne z założeniem. Czyli lewa strona największą wartość przyjmuje, gdy a=b=c, wtedy:
\(\displaystyle{ M=3\sqrt{2 \frac{1}{3}+1}=3 \sqrt{\frac{5}{3}}=\sqrt{15}}\)
Wiemy również, że dla dowolnych k,m nieujemnych, przy czym m nie jest większe niż k:
\(\displaystyle{ \sqrt{k-m}+\sqrt{k+m} < \sqrt{k}+\sqrt{k} \\ L=\sqrt{k-m+2\sqrt{k^2-m^2}+k+m}=\sqrt{2k+2\sqrt{k^2-m^2}} < \sqrt{2k+2\sqrt{k^2}}=\sqrt{2k+2k}=\sqrt{4k}=2\sqrt{k}=P}\)
Przy czym największa różnica pomiędzy L i P jest, gdy m=k. Stosując to do naszej nierówności (przyjmujemy dla ogólności, że a=b, ponieważ dla a=c lub b=c wyszłoby to samo):
\(\displaystyle{ \sqrt{2a+1}=\sqrt{2b+1}=0 \Rightarrow a=b=-\frac{1}{2} \\ -1+c=1 \Rightarrow c=2 \\ m=\sqrt{2 \cdot 2 + 1}=\sqrt{5}}\)
Odp: \(\displaystyle{ m=\sqrt{5} \wedge M=\sqrt{15}}\)
Korzystam z nierówności pomiędzy średnią arytmetyczną i geometryczną:
\(\displaystyle{ \begin{cases}\sqrt{1(2a+1)} \leq \frac{1+2a+1}{2} \\ \sqrt{1(2b+1)} \leq \frac{1+2b+1}{2} \\ \sqrt{1(2c+1)} \leq \frac{1+2c+1}{2}\end{cases} \\
\sqrt{2a+1}+\sqrt{2b+1}+\sqrt{2c+1} \leq \frac{2a+2b+2c+6}{2}=a+b+c+3=1+3=4}\)
Równość zachodziłaby wtedy, gdy 2a+1=2b+1=2c+1=1, czyli a=b=c=0, ale to jest sprzeczne z założeniem. Czyli lewa strona największą wartość przyjmuje, gdy a=b=c, wtedy:
\(\displaystyle{ M=3\sqrt{2 \frac{1}{3}+1}=3 \sqrt{\frac{5}{3}}=\sqrt{15}}\)
Wiemy również, że dla dowolnych k,m nieujemnych, przy czym m nie jest większe niż k:
\(\displaystyle{ \sqrt{k-m}+\sqrt{k+m} < \sqrt{k}+\sqrt{k} \\ L=\sqrt{k-m+2\sqrt{k^2-m^2}+k+m}=\sqrt{2k+2\sqrt{k^2-m^2}} < \sqrt{2k+2\sqrt{k^2}}=\sqrt{2k+2k}=\sqrt{4k}=2\sqrt{k}=P}\)
Przy czym największa różnica pomiędzy L i P jest, gdy m=k. Stosując to do naszej nierówności (przyjmujemy dla ogólności, że a=b, ponieważ dla a=c lub b=c wyszłoby to samo):
\(\displaystyle{ \sqrt{2a+1}=\sqrt{2b+1}=0 \Rightarrow a=b=-\frac{1}{2} \\ -1+c=1 \Rightarrow c=2 \\ m=\sqrt{2 \cdot 2 + 1}=\sqrt{5}}\)
Odp: \(\displaystyle{ m=\sqrt{5} \wedge M=\sqrt{15}}\)