Wyznacz liczbe n

darki · Post autor: **darki** » 21 sie 2007, o 14:55

Wyznacz liczbę n wyrazów ciagu arytmetycznego jeśli:

\(\displaystyle{ a_{1}=4\\
S=70\\
r=5}\)

wiem że trzeba skorzystać z wzorów:
\(\displaystyle{ a_{n}=a_{1} + ( n - 1 ) * r\\
S=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}* n}\)
...

proszę o pomoc

Post autor: **ariadna** » 21 sie 2007, o 15:00

\(\displaystyle{ S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}n}\)
Podstaw i masz równanie kwadratowe, pamiętaj, że n musi być naturalne.
n=5

greey10 · Post autor: **greey10** » 21 sie 2007, o 15:03

wzor na sume ciagu arytmetycznego to
\(\displaystyle{ \frac{a_{1}+a_{n}}{2}n=S}\) plus to co powyrzej i wyliczasz n

Post autor: **scyth** » 21 sie 2007, o 15:03

\(\displaystyle{ S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)r)}\), czyli
\(\displaystyle{ 70=\frac{n}{2}(8+5(n-1))}\)
\(\displaystyle{ 140=n(5n+3)}\)
\(\displaystyle{ 5n^2+3n-140=0}\)
\(\displaystyle{ (5n+28)(n-5)=0}\)
A więc \(\displaystyle{ n=5}\)

darki · Post autor: **darki** » 21 sie 2007, o 15:13

O matko ;d
ładne z was mózgi

dzięki szkoda ze nic nie rozumiem :/
z odpowiedzi scyth.

Post autor: **scyth** » 21 sie 2007, o 15:20

masz wzór na sumę n pierwszych wyrazów - masz wszystkie dane oprócz n. Podstawiasz i upraszczasz - dochodzisz do równania kwadratowego które trzeba rozwiązać. Ma ono dwa pierwiastki - jeden dodatni i drugi ujemny (który odrzucamy, bo n>0). Koniec.

darki · Post autor: **darki** » 21 sie 2007, o 15:42

scyth pisze:masz wzór na sumę n pierwszych wyrazów - masz wszystkie dane oprócz n. Podstawiasz i upraszczasz - dochodzisz do równania kwadratowego które trzeba rozwiązać. Ma ono dwa pierwiastki - jeden dodatni i drugi ujemny (który odrzucamy, bo n>0). Koniec.

no tak z jednego wzoru robie dwa..
\(\displaystyle{ a_{n}=a_{1} + ( n - 1 ) * r\\

S_{n}=\frac{a_{1} + a_{n}}{2}*n\\

S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}n\\}\)

i teraz jak podstawie pod to liczby to nie wiem jak ty zrobiłeś do to tej twojej postaci..

\(\displaystyle{ s_{n}=\frac{2*4+(n-1)*5}{2}*n\\

s_{n}=\frac{8+(n-1)*5}{2}*n\\

5*n=5n
5*-1=-5}\)
czyli:

\(\displaystyle{ s_{n}=\frac{8+5n-5}{2}*n\\

8-5+5n..\\
s_{n}=\frac{3-5n}{2}*\frac{n}{2}\\

Sn=70\\}\)

ale nie moge dojsc w zadnen sposob do twojej postaci.. :/

Post autor: **scyth** » 21 sie 2007, o 15:49

no tak z jednego wzoru robie dwa..
\(\displaystyle{ a_{n}=a_{1} + ( n - 1 ) * r\\

S_{n}=\frac{a_{1} + a_{n}}{2}*n\\

S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}n\\}\)

i teraz jak podstawie pod to liczby to nie wiem jak ty zrobiłeś do to tej twojej postaci..

masz dane \(\displaystyle{ S_{n}=70, \ a_1=4, \ r=5}\) to je wstaw do wzoru.
Wtedy \(\displaystyle{ 70=\frac{n}{2}(8+5(n-1))}\).

darki · Post autor: **darki** » 21 sie 2007, o 15:51

masz dane \(\displaystyle{ S_{n}=70, \ a_1=4, \ r=5}\) to je wstaw do wzoru.
Wtedy \(\displaystyle{ 70=\frac{n}{2}(8+5(n-1))}\).

nie rozumiem dlaczego jest na poczatku twojego \(\displaystyle{ \frac{n}{2}}\)

bullay · Post autor: **bullay** » 21 sie 2007, o 15:53

jest \(\displaystyle{ \frac{n}{2}}\) bo tak jest we wzorze ogolnym na sume w ciagu arytmetycznym.

Post autor: **scyth** » 21 sie 2007, o 15:54

\(\displaystyle{ 70=n\frac{(8+5(n-1))}{2}}\) - teraz lepiej?

darki · Post autor: **darki** » 21 sie 2007, o 15:56

scyth pisze:\(\displaystyle{ 70=n\frac{(8+5(n-1))}{2}}\) - teraz lepiej?

nom

Silver · Post autor: **Silver** » 21 sie 2007, o 16:15

\(\displaystyle{ S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}*n\\
S_{n}=\frac{(2a_{1}+(n-1)r)}{2}*n\\
S_{n}=(2a_{1}+(n-1)r)*\frac{n}{2}\\
S_{n}=\frac{n}{2}*(2a_{1}+(n-1)r)\\}\)