Równanie różniczkowe

[Mr Max]

Mam takie zadanko:
Rozwiązać zagadnienie początkowe

\(\displaystyle{ x^3y'=y^2}\) gdzie \(\displaystyle{ y'(1)=2}\)

proszę o pomoc, z góry dzięki

[ariadna]

Podpowiedź: równanie Bernoulliego.

[luka52]

Podpowiedź: równanie Bernoulliego.

A nie przypadkiem równanie o zmiennych rozdzielających się, tj:
\(\displaystyle{ \frac{dy}{y^2} = \frac{dx}{x^3}}\)

[Mr Max]

\(\displaystyle{ \int \frac{1}{y^2} dy = t \frac{1}{x^3}dx}\)
\(\displaystyle{ -\frac{1}{y}=\frac{1}{x^2}}\)

dobrze jest to? i co dalej ?

[luka52]

Niezupełnie, powinno być:
\(\displaystyle{ - \frac{1}{y} = - \frac{1}{2x^2} + C\\
y = \frac{2x^2}{1 - 2 C x^2}}\)
A z warunków brzegowych wyliczamy stałą C:
\(\displaystyle{ y'(1) = 2 \iff C = \frac{1}{2}(1 \sqrt{2})}\)
Ostatecznie
\(\displaystyle{ y(x) = \frac{2x^2}{1 - (1 \sqrt{2})x^2}}\)

[Mr Max]

a jeszcze taki przykładzik mam i sie gubię:

\(\displaystyle{ x^2y'=y^3}\) gdzie \(\displaystyle{ y'(2)=1}\)

to jak to bedzie tu:
\(\displaystyle{ \frac{dy}{y^3}=\frac{dx}{x^2}}\)
\(\displaystyle{ \int\frac{1}{y^3}=\int\frac{1}{x^2}}\)
\(\displaystyle{ -\frac{1}{2y^2}=-\frac{1}{x}}\)

i tu nie bardzo wiem co dalej

wyjdzie:
\(\displaystyle{ y=\frac{1}{2}\sqrt{x}}\) ?

[luka52]

Troszkę się zagapiłem z tymi warunkami brzegowymi w tym pierwszym przykładzie, ale już poprawiłem.

Co do drugiego przykładu, to, mamy:
\(\displaystyle{ - \frac{1}{2y^2} = C - \frac{1}{x}\\
y = \pm \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2 - 2 C x}}\\
y'(2) = 1 \iff \ldots}\)
Należy obliczyć pochodną y' i wyliczyć stałą.

[lukasz1804]

Można sobie zadać trud wyznaczenia maksymalnej dziedziny każdego z dwu otrzymanych rozwiązań.
I tak, rozwiązanie \(\displaystyle{ y_1(x)=\frac{2x^2}{1-(1-\sqrt{2})x^2}}\) jest określone na całej prostej \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\). Drugie z rozwiązań, tj. \(\displaystyle{ y_2(x)=\frac{2x^2}{1-(1+\sqrt{2})x^2}}\) jest określone w przedziale \(\displaystyle{ (\sqrt{\sqrt{2}-1},+\infty)}\).

Wyrażenia matematyczne umieszczamy pomiędzy znacznikami

Kod: Zaznacz cały

[tex]...[/tex]

luka52[/i][/color]

[Mr Max]

Mógłby ktoś mi rozpisać to szczegółowiej zamianę z:
\(\displaystyle{ -\frac{1}{2y^2}=-\frac{1}{x}+C}\)
na:
\(\displaystyle{ y=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2 - 2 C x}}}\)

bo coś gubię się przy tej zamianie

[luka52]

\(\displaystyle{ - \frac{1}{2y^2} = C - \frac{1}{x}\\
- \frac{1}{2y^2} = \frac{Cx - 1}{x}\\
\frac{1}{2y^2} = \frac{1- Cx}{x}\\
2y^2 = \frac{x}{1-Cx}\\
y^2 = \frac{x}{2 - 2Cx}\\
y = \sqrt{\frac{x}{2 - 2Cx}}}\)
Nie zapominaj o tym +/-!

[Mr Max]

dzięki wielkie