5 Całek nieoznaczonych

[mała193]

z tymi też mi nie wychodzi
1. \(\displaystyle{ \int \frac{e^{x}}{1+e^{2x}} dx}\)
2. \(\displaystyle{ \int \frac{5x^{3}}{\sqrt[5]{x^{4}+1}} dx}\)
3. \(\displaystyle{ \int {x}{sin\frac{x}{2}} dx}\)
4. \(\displaystyle{ \int \frac{1}{x^{2}+8x-5}dx}\)
5. \(\displaystyle{ \int \frac{cos{2x}}{5-sin^{2}2x}dx}\)

[Tristan]

Ad 1:
Podstaw \(\displaystyle{ e^x=t}\). Na końcu powinnaś otrzymać \(\displaystyle{ arctg (e^x) +C}\).

[mol_ksiazkowy]

\(\displaystyle{ \int \frac{5x^{3}}{\sqrt[5]{x^{4}+1}} dx= \frac{5}{4} t \frac{dt}{\sqrt[5]{t}}=\frac{25}{16} \sqrt[5]{(x^4+1)^4}}\)
\(\displaystyle{ t=x^4+1}\)

[rObO87]

3. Pójdzie przez części:

\(\displaystyle{ \int {x}{sin\frac{x}{2}} dx = -2xcos\frac{x}{2} + 2\int {cos\frac{x}{2}} dx}\)

Podstawiając: \(\displaystyle{ \frac{x}{2} = t}\) otrzymamy:
\(\displaystyle{ 2\int {cos\frac{x}{2}} dx = 4 sin\frac{x}{2}}\)

czyli:
\(\displaystyle{ \int {x}{sin\frac{x}{2}} dx = -2xcos\frac{x}{2} + 4 sin\frac{x}{2}}\)

co jest poprawnym wynikiem.

[soku11]

4.
\(\displaystyle{ \int \frac{1}{x^{2}+8x-5}dx =
t \frac{1}{(x+4)^{2}-21}dx\\
(x+4)^{2}=21t^{2}\\
x+4=\sqrt{21}t\\
dx=\sqrt{21}dt\\
t \frac{dx}{(x+4)^{2}-21}=
\frac{\sqrt{21}}{21}\int \frac{dt}{t^{2}-1}=
\frac{\sqrt{21}}{21}\int \frac{dt}{(t-1)(t+1)}=
\frac{\sqrt{21}}{21}(\int \frac{\frac{1}{2}}{t-1}dt-\frac{\frac{1}{2}}{t+1}dt=
\frac{\sqrt{21}}{21}(\frac{1}{2}\int \frac{dt}{t-1}-\frac{1}{2}\int\frac{dt}{t+1})=
\frac{\sqrt{21}}{42}\int \frac{dt}{t-1}-\frac{\sqrt{21}}{42}\int\frac{dt}{t+1}=
\frac{\sqrt{21}}{42}(ln|t-1|-ln|t+1|)=
\frac{\sqrt{21}}{42}ln\left|\frac{t-1}{t+1}\right|=...}\)

POZDRO

[alia]

Ad.5.
podstaw \(\displaystyle{ \sin{2x}=t}\), wtedy \(\displaystyle{ 2\cos{2x}dx=dt}\)
i całka wygląda następująco:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\int{\frac{1}{5-t^2}}\,dt}\)
i tu posłuż się rozkładem na ułamki proste.