Twierdzenie Greena - dowód?

[rObO87]

Czy ktoś jest w stanie udowodnoć mi to twierdzenie? (google nie pomogły)

[bullay]

Niech krzywa \(\displaystyle{ \displaystyle K}\), zbiór \(\displaystyle{ \displaystyle D}\), oraz funkcje \(\displaystyle{ \displaystyle P(x,y)}\) i \(\displaystyle{ \displaystyle Q(x,y)}\) będą jak wyżej. Wtedy:

\(\displaystyle{ \displaystyle \oint_K Pdx+Qdy \ =\ \iint\limits_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x} -\frac{\partial P}{\partial y} \right)dxdy}\).

Dowód

Wykażemy, że

\(\displaystyle{ \displaystyle \oint_K P(x,y)dx \ =\ \iint\limits_D -\frac{\partial P}{\partial y}(x,y)dxdy}\)

i

\(\displaystyle{ \displaystyle \oint_K Q(x,y) dy \ =\ \iint\limits_D\frac{\partial Q}{\partial x}(x,y) dxdy}\).

Skoro zbiór \(\displaystyle{ \displaystyle D}\) jest normalny względem osi \(\displaystyle{ \displaystyle Ox}\), to istnieje przedział \(\displaystyle{ \displaystyle \displaystyle [a,b]\subset \mathbb{R}}\) i dwie funkcje \(\displaystyle{ \displaystyle y_1(x), y_2(x)}\) takie, że

\(\displaystyle{ \displaystyle D \ =\ \{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : a\leq x\leq b, y_1(x)\leq y q y_2(x)\}}\).

Oznaczmy przez \(\displaystyle{ \displaystyle K_1}\) wykres funkcji \(\displaystyle{ \displaystyle y_1(x)}\), a przez \(\displaystyle{ \displaystyle K_2}\) wykres funkcji \(\displaystyle{ \displaystyle y_2(x)}\). Wówczas
\(\displaystyle{ \displaystyle K \ =\ K_1+(-K_2)}\),

zatem
\(\displaystyle{ \displaystyle \iint\limits_D \frac{\partial P}{\partial y}(x,y)dxdy \ =\ \displaystyle\int\limits_a^b \dy \displaystyle\int\limits_{y_1(x)}^{y_2(x)}\frac{\partial P}{\partial y}(x,y)dxdy \ =\ \displaystyle\int\limits_a^b\left(P(x,y_2(x))-P(x,y_1(x))\right)dx.}\)

Korzystając teraz z definicji całki krzywoliniowej, mamy:
\(\displaystyle{ \displaystyle \displaystyle\int\limits_{K_2}P(x,y)dx=\displaystyle\int\limits_a^bP(x,y_2(x))dx}\)

oraz
\(\displaystyle{ \displaystyle \displaystyle\int\limits_{K_1}P(x,y)dx=\displaystyle\int\limits_a^bP(x,y_1(x))dx}\),

a zatem
\(\displaystyle{ \displaystyle \aligned \displaystyle\int\limits_a^b\left(P(x,y_2(x))-P(x,y_1(x))\right)dx&=\displaystyle\int\limits_{K_2}P(x,y)dx-\displaystyle\int\limits_{K_1}P(x,y)dx\\ &= -\displaystyle\int\limits_{-K_2}P(x,y)dx-\displaystyle\int\limits_{K_1}P(x,y)dx=-\oint_KP(x,y)dx. \endaligned}\)

Analogicznie, skoro \(\displaystyle{ \displaystyle D}\) jest normalny względem osi \(\displaystyle{ \displaystyle Oy}\), to istnieje przedział \(\displaystyle{ \displaystyle \displaystyle [c,d]\subset \mathbb{R}}\) i dwie funkcje \(\displaystyle{ \displaystyle x_1(y), x_2(y)}\)takie, że
\(\displaystyle{ \displaystyle D \ =\ \{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : c\leq y\leq d, x_1(y)\leq x q x_2(y)\}}\).

Oznaczmy przez \(\displaystyle{ \displaystyle L_1}\) wykres funkcji \(\displaystyle{ \displaystyle x_1(y)}\), a przez \(\displaystyle{ \displaystyle L_2}\) wykres funkcji \(\displaystyle{ \displaystyle x_2(y)}\). Wówczas
\(\displaystyle{ \displaystyle K \ =\ L_1+(-L_2)}\),

zatem
\(\displaystyle{ \displaystyle \iint\limits_D \frac{\partial Q}{\partial x}(x,y)dxdy \ =\ \displaystyle\int\limits_c^d dy \displaystyle\int\limits_{x_1(y)}^{x_2(y)}\frac{\partial Q}{\partial x}(x,y)dx \ =\ \displaystyle\int\limits_c^d\left(Q(x_2(y),y)-Q(x_1(y),y)\right)dy=}\)

analogicznie jak wyżej
\(\displaystyle{ \displaystyle =\displaystyle\int\limits_{L_2}Q(x,y)dx-\displaystyle\int\limits_{L_1}Q(x,y)dx= \displaystyle \oint\limits_{K} Q(x,y)dx}\).
Co konczy dowod


Uwaga

Zauważmy, że twierdzenie Greena jest prawdziwe także dla zbiorów, które możemy podzielić na skończoną sumę zbiorów normalnych względem obu osi.


Podział zbioru na zbiory normalne



Wystarczy wykazać uwagę dla zbioru \(\displaystyle{ \displaystyle D}\) będącego sumą dwóch zbiorów normalnych względem obu osi \(\displaystyle{ \displaystyle D=D_1\cup D_2}\). Niech \(\displaystyle{ \displaystyle L}\) będzie krzywą dzielącą \(\displaystyle{ \displaystyle D}\) na \(\displaystyle{ \displaystyle D_1\cup D_2}\), niech \(\displaystyle{ \displaystyle K_1=\partial D_1\setminus L, K_2=\partial D\setminus L}\). Zauważmy, że jeśli \(\displaystyle{ \displaystyle \displaystyle\partial D_1}\) i \(\displaystyle{ \displaystyle \displaystyle\partial D_2}\) zorientujemy dodatnio, to krzywą \(\displaystyle{ \displaystyle L}\) przebiegamy raz w jedną, raz w drugą stronę, możemy zatem napisać \(\displaystyle{ \displaystyle \displaystyle\partial D=K=K_1+L+K_2-L}\).

Wtedy

\(\displaystyle{ \begin{array}{lll} \displaystyle\iint\limits_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x} -\frac{\partial P}{\partial y} \right)dxdy&=&\displaystyle \iint\limits_{D_1}\left(\frac{\partial Q}{\partial x} -\frac{\partial P}{\partial y} \right)dxdy+\iint\limits_{D_2}\left(\frac{\partial Q}{\partial x} -\frac{\partial P}{\partial y} \right)dxdy\\ &=&\displaystyle\int\limits_{K_1+L}Pdx+Qdy+ \displaystyle\int\limits_{K_2-L}Pdx+Qdy=\displaystyle\int\limits_KPdx+Qdy. \end{array}}\)
Co konczy dowod.

[Kartezjusz]

Coś z Tw Greena dla funkcji
wiadomo z funkcjami typu:
\(\displaystyle{ \oint Pdx + Qdy + Ddz}\)?