Trzy całki nieoznaczone

[szefu]

Witam wszystkich!
Mam do policzenia następujące całki:
1) \(\displaystyle{ \int\ln(cosx)dx}\)
2) \(\displaystyle{ \int\frac{1+cos^{2}x}{1-2cosx}dx}\)
3) \(\displaystyle{ \int arctgx\cdot cosx dx}\)
Może ktoś byłby w stanie pomóc?
Z góry dziękuję.

[Emiel Regis]

Trzecia to zdaje sie nieelementarna bo nawet Maple mi sie buntuje...

[soku11]

2) Nie wiem jak do konca zrobic, ale zaprezentuje moj sposob - moze cie naprowadzi na ostateczny wynik:
\(\displaystyle{ \int\frac{1+cos^{2}x}{1-2cosx}dx =
-\frac{1}{2}\int\frac{cos^{2}x+1}{cosx-\frac{1}{2}}dx =
-\frac{1}{2}\int\frac{cosx(cosx-\frac{1}{2})+\frac{1}{2}cosx+1} {cosx-\frac{1}{2}}dx =
-\frac{1}{2}\int cosx dx-\frac{1}{4}\int \frac{cosx+2}{cosx-\frac{1}{2}}dx=
-\frac{1}{2}sinx-\frac{1}{4}\int \frac{cosx-\frac{1}{2}+\frac{5}{2}} {cosx-\frac{1}{2}}dx=
-\frac{1}{2}sinx-\frac{1}{4}\int (1+\frac{5}{2}\frac{1}{cosx-\frac{1}{2}})=
-\frac{1}{2}sinx-\frac{1}{4}\int dx-\frac{5}{8}\int\frac{dx}{cosx-\frac{1}{2}}=
-\frac{1}{2}sinx-\frac{x}{4}-\frac{5}{8}\int\frac{dx}{cosx-\frac{1}{2}}=??}\)

Jak to ostatnie zrobic to nie wiem :/ Moze ktos wspomoze??
POZDRO

[szefu]

Dzięki bardzo soku11 na naprowadzenie mnie na 2) całkę. Dalej z całką \(\displaystyle{ \int\frac{dx}{cosx-\frac{1}{2}}}\) poradziłem sobie następująco:
\(\displaystyle{ cosx-\frac{1}{2}=t}\)
\(\displaystyle{ cosx=t+\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ x=arccos(t+\frac{1}{2})}\)
\(\displaystyle{ dx=\frac{-dt}{\sqrt{1-(t+\frac{1}{2})^2}}}\)
\(\displaystyle{ \int\frac{dx}{cosx-\frac{1}{2}}=\int\frac{-dt}{t\sqrt{1-(t+\frac{1}{2})^2}}=\int\frac{-dt}{t\sqrt{-t^2-t+\frac{3}{4}}}}\)
Dalej podstawienie Eulera:
\(\displaystyle{ \sqrt{-t^2-t+\frac{3}{4}}=tu+\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
Po obustronnym podniesieniu do kwadratu wyznaczam \(\displaystyle{ t}\):
\(\displaystyle{ t=\frac{-\sqrt{3}u-1}{u^2+1}}\),

różniczkuję:

\(\displaystyle{ dt=\frac{\sqrt{3}u^2+2u-\sqrt{3}}{(u^2+1)^2}du}\)

i wstawiam do całki:

\(\displaystyle{ \int\frac{-\sqrt{3}u^2-2u+\sqrt{3}}{(u^2+1)^2(\frac{-\sqrt{3}u-1}{u^2+1}u+\frac{\sqrt{3}}{2})\frac{-\sqrt{3}u-1}{u^2+1}}du=\int\frac{-\sqrt{3}u^2-2u+\sqrt{3}}{(u^2+1)(\frac{-\sqrt{3}u^2-u}{u^2+1}+\frac{\sqrt{3}}{2})(-\sqrt{3}u-1)}du=}\)

\(\displaystyle{ =\int\frac{-\sqrt{3}u^2-2u+\sqrt{3}}{(-\frac{\sqrt{3}}{2}u^2-u+\frac{\sqrt{3}}{2})(-\sqrt{3}u-1)}du=-2\int\frac{du}{\sqrt{3}u+1}=-\frac{2\sqrt{3}}{3}ln|u+\frac{\sqrt{3}}{3}|+c}\)

\(\displaystyle{ u=\frac{\sqrt{-t^2-t+\frac{3}{4}}-\frac{\sqrt{3}}{2}}{t}=\frac{sinx-\frac{\sqrt{3}}{2}}{cosx-\frac{1}{2}}}\)

Wracając do podstawienia, otrzymuję ostatecznie:

\(\displaystyle{ \int\frac{dx}{cosx-\frac{1}{2}}=-\frac{2\sqrt{3}}{3}ln|\frac{sinx-\frac{\sqrt{3}}{2}}{cosx-\frac{1}{2}}+\frac{\sqrt{3}}{3}|+c}\)

Teraz wpadłem, że całkę \(\displaystyle{ \int\frac{dx}{cosx-\frac{1}{2}}}\) można też obliczyć stosując podstawienie uniwersalne \(\displaystyle{ tg\frac{x}{2}=t}\). Chyba mniej liczenia, chociaż będzie trzeba pod koniec rozłożyć wyrażenie wymierne na ułamki proste, więc łatwość tej drugiej metody jest dyskusyjna.

Całka 3) faktycznie może być nieelementarna. Myślę jeszcze nad 1).
Może ktoś ma pomysł?
Pozdrawiam i z góry dziękuję za pomoc.

[luka52]

W 1 i 3 wychodzą funkcje zespolone.
Np. 1:
\(\displaystyle{ I = \frac{\imath x^2}{2} - x \ln \left( 1 + e^{2 \imath x} \right) + x \ln \cos x + \frac{1}{2} \imath \mbox{Li}_2 \left( -e^{2 \imath x} \right) + C}\)