tw Stokes'a!

joannna · Post autor: **joannna** » 17 sie 2007, o 12:15

jakby ktos mogl przynajmniej napisac bo widze ze chyba nie chce sie nikomu cale rozwiazywac ale przynajmniej co powstanie z przeciecia tych dwoch powierzchni jakie L mam ,czyli wlasnie napewno kuli i czegos tylko nie wiem czy ta druga pow to walec czy nie
znalezc całke
\(\displaystyle{ \oint_{L}(2z-2y)dx+(z-x)dy+(2y+x+z)dz}\) gdzie L powstała z przecięcia sfery \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}+z^{2}=4}\) z płaszczyzną
\(\displaystyle{ x+y+z=0}\)i jest zorientowana zgodnie z ruchem wskazówek zegara patrząc z pktu (0,0,2)

Emiel Regis · Post autor: **Emiel Regis** » 17 sie 2007, o 12:23

Ta druga powierzchnia to jest zwykła płaszczyzna. Możesz ją sobie wyobrażać jako płaszczyznę prostopadłą do wektora [1,1,1].

Wiec L to będzie okrąg.

[edit]
heh, teraz doczytałem że sama w swoim poście nazywasz tą powierzchnie płaszczyzną...
To juz nie wiem o co pytasz.

joannna · Post autor: **joannna** » 17 sie 2007, o 12:33

dzieki rzeczywiscie nie mysle juz czyli to okrag na wys 1 tak tylko po co pisali ze dodatnio skierowany z punktu (0,0,2)

Emiel Regis · Post autor: **Emiel Regis** » 17 sie 2007, o 12:44

Zwróć uwagę że punkt (0,0,0) należy do naszej płaszczyzny. Czyli przechodzi ona przez poczatek układu współrzędnych. Jest to także środek okręgu.
Tak więc L możesz sobie wyobrażać jako okrąg o środku w punkcie (0,0,0) oraz promieniu równym 2.

joannna · Post autor: **joannna** » 17 sie 2007, o 14:49

odnosnie tego zadania wyżej -kurcze powiedzcie mi jeszcze to zad robie we współrzednych sferycznych ale co robie z z bo przeciez to ma byc okrag i jego pole a nie objętość..., jak rozpisac te całke

[ Dodano: 17 Sierpnia 2007, 15:00 ]
wiem ze chyba jest to zwiazane z tw stokes'a jak przejrzalam teorie matko tylko ze my w zyciu takiego czegos nie mielismy na cwiczeniach mam nadzieje ze ktos to kojarzy

luka52 · Post autor: **luka52** » 17 sie 2007, o 15:14

Można sparametryzować ten okrąg:
[edit]tu były bzdury[/edit]
Jest trochę rachunków, ale nie trzeba stosować tw. Stokesa (no chyba, że to zadanie należy koniecznie rozwiązać stosując to twierdzenie).

joannna · Post autor: **joannna** » 17 sie 2007, o 15:24

dzieki dalej juz sobie porozwiazuje tylko jeszcze jak m0ozesz to napisz jak szybko sparametryzowac okrag jest jakis prosty sposób bo mam problemy z y i z

luka52 · Post autor: **luka52** » 17 sie 2007, o 15:45

Z tą parametryzacją w moim poprzednim poście coś pomieszałem, bo jest błędną

W każdym razie jeżeli sparametryzujemy okrąd w ten sposób:
\(\displaystyle{ x =2t, \quad y = - t - \sqrt{2 - 3t^2}, \quad z = - t + \sqrt{2 - 3t^2}}\)
to na 99% będzie OK.

A aby wyznaczyć tą parametryzację, to w układzie równań (wystarczy troszkę się pobawić równaniami by go otrzymać)
\(\displaystyle{ \begin{cases}x y + x z + y z = -2 \\ x + y + z = 0 \end{cases}}\)
Podstawiam x=2t (bo wychodzą w miarę przyjemne wyniki) i wyliczam y i z.

joannna · Post autor: **joannna** » 17 sie 2007, o 16:06

kurcze nie bardzo wiem powoli to tak x=2t bo 2 to promien a t podstawiam tak a dalej jak to obliczam zeby mi wyszlo \(\displaystyle{ xy+xz+yz=-2}\)

luka52 · Post autor: **luka52** » 17 sie 2007, o 16:15

joannna pisze: to tak x=2t bo 2 to promien

Niezupełnie - można podstawić x=t i też będzie dobrze, jednak w innych granicach będzie się zmieniać t.

A co do równania, to:
\(\displaystyle{ x+y+z = 0\\
(x+y+z)^2 = 0\\
x^2 + y^2 + z^2 + 2(x y + xz + yz) = 0\\
4 + 2(x y + xz + yz) = 0\\
x y + xz + yz = -2}\)
Ot.