Całki

[lalus_87]

Jak obliczyć takie całki:
1) \(\displaystyle{ \int\limits_x^0 {\sin 3tdt}}\)
2) \(\displaystyle{ \int {\tan 3xdx}}\)
3) \(\displaystyle{ \int\limits_0^1 {\arctan xdx}}\)
4) \(\displaystyle{ \int\limits_0^2 {\frac{{e^x - 1}}{{e^{2x} }}}}\)
5) \(\displaystyle{ \int {\frac{{dx}}{{x\left( {1 + \ln ^2 x} \right)}}}}\)
6) \(\displaystyle{ \int {\frac{{dx}}{{\sqrt[3]{{3x + 1}} - 1}}}}\)

Byłbym wdzięczny za rozpisanie jak najprościej, ponieważ dopiero zaczynam całki i nie wiem wogóle co z tym zrobić. Dzięki serdeczne.

[scyth]

1) \(\displaystyle{ \int\limits_{x}^{0} sin 3tdt= [-\frac{1}{3}cos3t]_{x}^{0} = -\frac{1}{3} + \frac{1}{3}cos3x=\frac{cos3x-1}{3}}\)

2) \(\displaystyle{ \int tan3x dx = t \frac{sin3x}{cos3x} dx}\)
stosujemy podstawienie \(\displaystyle{ t=cos3x, \ dt=-3sin3x}\)
mamy wtedy całkę \(\displaystyle{ \int \frac{1}{3t} dt = -\frac{1}{3}ln|t| +C = -\frac{1}{3}ln|cos3x| + C}\)

4) \(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{2} e^{-x} dx - t\limits_{0}^{2} e^{-2x} dx = [-e^{-x}]_{0}^{2} - [-\frac{1}{2}e^{-2x}]_{0}^{2}}\)
korzystam z faktu, że całka \(\displaystyle{ \int e^{ax} = \frac{1}{a} e^{ax}}\)

5) podstawiamy \(\displaystyle{ t=ln x, \ dt=\frac{1}{x}}\)
całka zamienia się nam na: \(\displaystyle{ \int \frac{1}{1+t^2} dt = arctg(t) + C = arctg (ln x) + C}\)

[rtuszyns]

Tak - policzyłem pochodną i przepraszam za błąd. :/

[Kasiula@]

ad.1
aby było łatwiej zrobimy podstawienie (jak juz sie wdrążysz w całki to to podstawienie bedziesz pomijac ),a wiec:
\(\displaystyle{ 3t=y, 3dt=dy}\)
Podstawiamy do całki:
\(\displaystyle{ \int_{x}^{0} \sin 3tdt=\int_{3x}^{0} \frac{1}{3} \sin ydy= \frac{1}{3}(- \cos y)|_{3x^{0}}=-\frac{1}{3}(1- \cos 3x)}\)

ad.2
\(\displaystyle{ \int tg 3xdx= t \frac{\sin 3x}{\cos 3x}dx=...}\)
robimy podstawienie:
\(\displaystyle{ \cos 3x =y, -3 \sin 3x dx=dy}\),podstawiamy to do całki
\(\displaystyle{ ...=-\frac{1}{3}\int \frac{dy}{y}= -\frac{1}{3}ln|y|+C=-\frac{1}{3}|\cos 3x| +C}\)

ad.3
tutaj całkujemy przez części:
\(\displaystyle{ u= arctg x, u'=\frac{1}{1+x^{2}},w=1, z:=\int wdx=x}\)
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} arctg x dx= u\cdot z|_{0}^{1} - t_{0}^{1} u'\cdot z dx= x arctg x |_{0}^{1}- t_{0}^{1}\frac{x}{1+x^{2}}dx= \frac{\pi}{4}-\int_{0}^{1}\frac{x}{1+x^{2}}dx=...}\)
robimy podstawienie
\(\displaystyle{ 1+x^{2}=y, 2xdx=dy}\)
\(\displaystyle{ ...=\frac{\pi}{4}- t_{1}^{2} \frac{1}{2} \frac{dy}{y}= \frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}ln|y|= \frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}ln2}\)

[ Dodano: 17 Sierpnia 2007, 12:03 ]
hmm...
Zastanawiam się teraz nad całką 3. rtuszyns policzył szybko i jak dla mnie jest to wporządku. Ja policzyłam przez części (dłużej się liczy). Ale czy nie powinnyśmy otrzymac tych samych wyników??? Z tego wynika,że mam gdzieś bład. Tylko gdzie???

[ Dodano: 17 Sierpnia 2007, 12:06 ]
Juz wszystko jest wporzadku rtuszyns policzył pochodną z arctgx,a nie całkę.

[soku11]

6)
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{\sqrt[3]{3x + 1} - 1} \\
3x+1=t^{3}\\
3 dx = 3t^{2}dt\\
dx=t^{2}dt\\
\\
t \frac{t^{2}dt}{\sqrt[3]{t^{3}} - 1} =
t \frac{t^{2}dt}{t - 1} =
t \frac{t(t-1)+t}{t - 1}dt =
t (\frac{t(t-1)}{t - 1}+\frac{t}{t-1})dt =\\
t (t+\frac{t-1+1}{t-1})dt =
t (t+\frac{t-1}{t-1}+\frac{1}{t-1})dt =
t (t+1+\frac{1}{t-1})dt =\int tdt+\int dt+ t \frac{dt}{t-1}=...}\)

POZDRO