Sekretarka wkłada...

[Emiel Regis]

Sekretarka wkłada 10 tomów akt do 3 szuflad, czyniąc to całkowicie losowo. Jakie jest prawdopodobieństwo, że co najmniej jedna szuflada będzie pusta?

[edit]
Interesuje mnie rozwiązanie bez użycia zasady włączeń i wyłączeń.

[greey10]

no to omega to jest pierwszy tom wklada na 3 sposoby drugi na 3 itd czyli \(\displaystyle{ 3^{10}}\)
gdy jedna szuflada jest pusta to tomiki rozklada sie na \(\displaystyle{ 2^{10}}\) sposobow natomiast gdy dwie sa puste to na 10 sposobow teraz wystarczy wszystko zlaczyc ale pozostawiam to tobie
jak bys widzialas jakas luke albo jakies niejasnosci czy tez bledy to wal nikt nie jest idealny

[Emiel Regis]

Jak masz dwie puste to na 10 sposobów wrzucisz kule do jednej szuflady?: )
Wtedy jest tylko jeden sposób. Ta metodą już to policzyłem i to jest wlasnie z wykorzystaniem w/w wzoru... ale dzieki za checi; )
A ktoś może to zrobić poprzez zdarzenie przeciwne?

[jovante]

Liczbę 10 można zapisać (jako sumę dodatnich liczb całkowitych) na 8 sposobów: {1,1,8}, {1,2,7}, {1,3,6}, {1,4,5}, {2,2,6}, {2,3,5}, {2,4,4}, {3,3,4}. Liczba zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A' (żadna szuflada nie jest pusta) wynosi:

\(\displaystyle{ |A'|=3{10 \choose 1}{9 \choose 1}+6{10 \choose 1}{9 \choose 2}+6{10 \choose 1}{9 \choose 3}+6{10 \choose 1}{9 \choose 4}+3{10 \choose 2}{8 \choose 2}+6{10 \choose 2}{8 \choose 3}+3{10 \choose 2}{8 \choose 4}+3{10 \choose 3}{7 \choose 3}=3^{10}-3\cdot2^{10}+3}\)

\(\displaystyle{ |\Omega|=3^{10}}\)

Oczywiście \(\displaystyle{ P(A)=1-\frac{|A'|}{|\Omega|}}\)

[Emiel Regis]

Wynik się zgadza.
Nie do końca wiem skad się wzieły przed symbolami Newtona te trójki oraz szóstki.

np dla {1,1,8}:
To do pierwszej szuflady możemy włożyć jedną z dziecieciu książek, do drugiej jedną z dziewięciu, do trzeciej to co pozostanie.
Czyli tak jak piszesz \(\displaystyle{ C^1_{10} C^1_9 C^8_8}\). To jest jasne, a ta trójka to że jeszcze jakoś układasz szuflady w różne kolejności?
A no tak, to by sie zgadzalo... mamy permutacje trzech elementów, w tym dwóch takich samych. A przy trzech różnych elementach to po prostu 3!
To już w zasadzie nic; ) Dzięki.