[Analiza][Funkcje] Piętrowa funkcja

[Piotr Rutkowski]

Obliczyć \(\displaystyle{ f'(1)}\), gdzie:
\(\displaystyle{ f(x)=x^{x^{...^{x}}}}\) gdzie x występuje n razy

[przemk20]

\(\displaystyle{ \ln f_n (x) = f_{n-1} (x) \ln x \\
\frac{f'_n(x)}{ f_n(x)}= \frac{f_{n-1}(x)}{x} + f'_{n-1}(x) \ln x \\
f'(1) = 1}\)

[greey10]

moze tak:
\(\displaystyle{ g(x)=x^{x^{...}^{x}}}\) gdzie x jest n-1
nastepnie
\(\displaystyle{ f'(x)=(x^{g(x)})'=(e^{g(x)\ln{x}})'=x^{g(x)}(g'(x)\ln{x}+\frac{g(x)}{x})}\)
podstawiamy jedynke i sie nam upraszcza mamy
\(\displaystyle{ f'(1)=1(0+1)=1}\)


/// byles szybciej xD

[mol_ksiazkowy]

\(\displaystyle{ f^\prime(a)=}\)?
\(\displaystyle{ a>0}\)

[max]

Jeśli:
\(\displaystyle{ \forall x\in (0, + ) \quad
\begin{cases}f_{0}(x) = 1\\
f_{n}(x) = x^{f_{n - 1}(x)}, \ n = 1, 2, \ldots \end{cases}}\)
To:
\(\displaystyle{ f'_{n}(x) = \sum_{j = 1}^{n}\frac{f_{n}(x) f_{n - 1}(x)\cdot \ldots f_{n - j}(x)}{x}\cdot \ln^{j - 1}x}\)
(indukcyjnie powinno wyjść)
Postać równie rozlazła jak rekurencyjna, ale nic lepszego mi teraz do głowy nie przychodzi..

[mol_ksiazkowy]

też ladnie, a moznanby chyba podjąc rekurencje jak ja to przemk20 napisał i sprobowac rozwiklac, tj znalezc wzor na an, pobawic sie z ciagiem.... byc moze wyjdzie nawet....a tak wogole zadanko jest całkiem fajne i schludne...tj tak zrobic

\(\displaystyle{ f_n^\prime(a)=a_n}\)

[max]

Ta suma wzięła się bezpośrednio z tej rekurencji, niestety zaraz wyjeżdżam i przez jakiś czas nie będę miał dostępu do komputera, więc nie za bardzo mogę się teraz temu przyjrzeć... (może w pociągu cuś wymyślę )