Pochodne

[lalus_87]

Proszę o pomoc z tymi pochodnymi:
1) \(\displaystyle{ \sin (\frac{t}{{1 - t^2 }})}\)
2) \(\displaystyle{ \left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^x}\)
3) \(\displaystyle{ a^{e^x }}\)
4) \(\displaystyle{ x^{x^x }}\)

I jeszcze prosiłbym o sprawdzenie czy te pochodne dobrze obliczyłem (a jeśli źle obliczyłem to tu też poproszę o prawidłowe rozwiązanie:
5) \(\displaystyle{ \left( {\left( {\tan \sqrt x } \right)^4 } \right)' = \tan ^3 \sqrt x \frac{2}{{\cos ^2 x}}}\)
6) \(\displaystyle{ \left( {\arctan \frac{{\sqrt {x^2 + 1} - 1}}{x}} \right)' = \frac{{ - \sqrt {x^2 + 1} + 1}}{{2(x^2 + \sqrt {x^2 + 1} + 1)}}}\)
7) \(\displaystyle{ \left( {e^{\cos 2x} } \right)' = ft( {e^{\cos 2x} } \right)\left( { - 2\sin 2x} \right)}\)
8) \(\displaystyle{ \left( {\frac{x}{{1 + \sqrt x }}} \right)' = \frac{{2 + \sqrt x }}{{2\left( {\sqrt x + 1} \right)^2 }}}\)
9) \(\displaystyle{ \left( {\tan \ln x} \right)' = \frac{{1 + \tan ^2 \ln x}}{x}}\)

Dzięki.
P.S. Świetne to forum

[luka52]

ad 5.
Jak pomnożysz prawą stronę przez \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{x}}}\) to będzie OK.

ad 6.
Coś nie bardzo Powinno wyjść \(\displaystyle{ \frac{1}{2 + 2x^2}}\)

ad 7.
Chyba dobrze myślałeś, ale pochodną funkcji wew. należy pomnożyć, czyli: \(\displaystyle{ -2 \sin 2x e^{\cos 2x}}\)

ad 8.
OK

ad 9.
OK

PS. W przykładach 5-9 czegoś brakuje, nie sądzisz? Gdyż lewa strona nie równa się prawej...

[setch]

1.
\(\displaystyle{ f(x)=\sin (\frac{t}{1-t^2})\\
f(x)=\sin g(x)\\
g(x)=\frac{t}{1-t^2}\\
\frac{df(x)}{dx}=\frac{df(x)}{dg(x)} \frac{dg(x)}{dx}=\cos g(x) \frac{1-t^2+2t^2}{(1-t^2)^2}= \cos (\frac{t}{1-t^2}) \frac{1+t^2}{(1-t^2)^2}}\)
3.
\(\displaystyle{ f(x)=a^{e^{x}}\\
f(x)=a^{g(x)}\\
g(x)=e^x\\
\frac{df(x)}{dx}=\frac{df(x)}{dg(x)} \frac{dg(x)}{dx}=a^{g(x)} \ln g(x) e^x=
a^{e^x} \ln e^x e^x=a^{e^x} x e^x}\)

[Maniek]

A co do 4) to

\(\displaystyle{ y=x^{{x}^x} \\ lny=lnx^{{x}^x} \\ \frac{1}{y}\cdot y'=(x^x)lnx+x^x\cdot \frac{1}{x} \\ \frac{1}{y}\cdot y'=x^x(1+lnx)\cdot lnx + x^x\cdot \frac{1}{x} \\ y'=y x^x(1/x +lnx + lnx^2)}\)

[greey10]

A co do 4) to

\(\displaystyle{ lny=lnx^{{x}^x} \\ \frac{1}{y}\cdot y'=(x^x)lnx+x^x\cdot \frac{1}{x}}\)

nie dokonca rozumiem to przejscie moglbys jeszcze wolniej? liczysz tu pochodna?

[ Dodano: 15 Sierpnia 2007, 14:26 ]
setch czy napewno dobrze obliczyles to drugie?
Dawno nie liczylem zadnej pochodnej i mozliwe ze zapomnialem ale to chyba jakos tak bylo
\(\displaystyle{ (a^{e^{x}})'=(e^{a\ln{e^{x}}})'=a^{e^{x}}*(a\ln{e^{x}})'=a^{e^{x}}*a*\frac{1}{e^{x}}e^{x}=a^{e^{x}+1}}\)
moze ktos powiedziec gdzie robie blad ;/

[max]

nie dokonca rozumiem to przejscie moglbys jeszcze wolniej? liczysz tu pochodna?

Maniek zróżniczkował równość stronami po \(\displaystyle{ x}\).

moze ktos powiedziec gdzie robie blad ;/

logarytmujesz wykładnik, a trzeba podstawę...
Można też z wzoru na pochodną złożenia, ale:
\(\displaystyle{ (a^{x})' = a^{x}\ln a \not \equiv a^{x} \ln x}\)
więc wynik jaki uzyskał setch nie jest poprawny.

2) \(\displaystyle{ \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x} = e^{x\ln\left(1 + \frac{1}{x}\right)}}\)
i dalej z wzoru na pochodną funkcji złożonej...

[greey10]

o jezu faktycznie dziekuje max!

[lalus_87]

Już poprawiłem swój post. Natomiast nie wiem gdzie popełniłem błąd w tym 6) zadaniu. Czy mógłby ktoś to rozwiązać? Będę wdzięczny.

[luka52]

ad 6.
\(\displaystyle{ = \frac{1}{1 + ft( \frac{\sqrt{x^2 + 1} - 1}{x} \right)^2 } \frac{\sqrt{x^2 + 1} - 1}{x^2 \sqrt{x^2 + 1}} = \frac{1 + \sqrt{x^2 + 1}}{2 \sqrt{x^2 + 1}} \frac{\sqrt{x^2 + 1} - 1}{x^2 \sqrt{x^2 + 1}} = \frac{1}{2 + 2x^2}}\)