Równanie - potęga liczby zespolonej i jej sprzężenia

[patryk1000]

rozwiązać rownanie

\(\displaystyle{ z^6=( \overline{z})^6}\)

PawelJan: Poprawiłem temat na regulaminowy. W kolejnym takim przypadku - ostrzeżenie.

[micholak]

Dla ulatwienia niech \(\displaystyle{ z=Ra}\) gdzie \(\displaystyle{ |a|=1}\) a R jest rzeczywiste

wowczas po pomnozeniu obustronnym przez \(\displaystyle{ z^{6}}\) mamy

\(\displaystyle{ z^{12}=|z|^{12}}\)
czyli
\(\displaystyle{ R^{12}a^{12}=R^{12}}\)
czyli
\(\displaystyle{ a^{12}=1}\) a z tym nie powinno byc problemu

A i oczywiscie przypadek z=0 rozwazyc oddzielnie

[patryk1000]

Dla ulatwienia niech \(\displaystyle{ z=Ra}\) gdzie \(\displaystyle{ |a|=1}\) a R jest rzeczywiste

wowczas po pomnozeniu obustronnym przez \(\displaystyle{ z^{6}}\) mamy

\(\displaystyle{ z^{12}=|z|^{12}}\)
czyli
\(\displaystyle{ R^{12}a^{12}=R^{12}}\)
czyli
\(\displaystyle{ a^{12}=1}\) a z tym nie powinno byc problemu

A i oczywiscie przypadek z=0 rozwazyc oddzielnie

wielkie dzieki ..ale moglbys to rozwiazac jakos tak bardziej typowo

[micholak]

Typowo to bedzie pewnie
\(\displaystyle{ R^{6}(\cos6 + i \sin 6 ) = R^{6} (\cos 6 - i \sin 6 )}\)

BTW w tym co przed chwila napisalem cos mi nie pasuje ale jeszcze nie wiem co

EDIT
Sam juz nie wiem chyba jednak wszystko ok. I zdecydowanie pierwsze rozwiazani wydaje mi sie ladniejsze.

[patryk1000]

Typowo to bedzie pewnie
\(\displaystyle{ R^{6}(\cos6 + i \sin 6 ) = R^{6} (\cos 6 - i \sin 6 )}\)

BTW w tym co przed chwila napisalem cos mi nie pasuje ale jeszcze nie wiem co

tak wlasnie tak jak bys mogl to ladnie wszysto rozpisac bo takiego typu zadania nie lapie nic

[micholak]

To rownanie jest z wzorow de Moivre'a.
\(\displaystyle{ R^{6}}\) sie skroci bo przypadek R=0 rozwaza sie osobno

Porownuje sie czesci urojone i rzeczywiste, no i powinno wyjsc. Interesuja nas rozwiazania z zakresu \(\displaystyle{ \[0, 2 \pi \)}\)

Czesc rzeczywista nie jest zbyt ciekawa, wystarczy wiec czesc urojona
tam mamy
\(\displaystyle{ \sin 6 \alpha = -\sin 6 \alpha}\)
stad
\(\displaystyle{ \sin 6 \alpha = 0}\)
to znowoz nie powinno sprawiac problemow

[patryk1000]

To rownanie jest z wzorow de Moivre'a.
\(\displaystyle{ R^{6}}\) sie skroci bo przypadek R=0 rozwaza sie osobno

Porownuje sie czesci urojone i rzeczywiste, no i powinno wyjsc. Interesuja nas rozwiazania z zakresu \(\displaystyle{ \[0, 2 \pi \)}\)

Czesc rzeczywista nie jest zbyt ciekawa, wystarczy wiec czesc urojona
tam mamy
\(\displaystyle{ \sin 6 \alpha = -\sin 6 \alpha}\)
stad
\(\displaystyle{ \sin 6 \alpha = 0}\)
to znowoz nie powinno sprawiac problemow

dzięki jesteś\(\displaystyle{ wielki}\)