Pole powierzchni trójkąta

[Grzegorz t]

Przez punkt \(\displaystyle{ P}\) położony wewnątrz trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) poprowadzono trzy proste równoległe do boków tego trójkąta. Pola utworzonych w ten sposób trzech mniejszych trójkątów o wspólnym wierzchołku \(\displaystyle{ P}\) wynoszą \(\displaystyle{ S_1, S_2, S_3.}\) Obliczyć pole \(\displaystyle{ S}\) trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\)

[alef_0]

na pewno tam są proste równoległe?

[smiechowiec]

Zauważmy, że 3 małe trójkąty są podobne do całego trójkąta - wszystkie kąty są identyczne.
\(\displaystyle{ \frac{h}{a}=\frac{h_1}{a_1}=\frac{h_2}{a_2}=\frac{h_3}{a_3}
h_1 = h \frac{a_1}{a}}\)

Z rysynku widać, że suma długości podstaw trzech małych trójkątów jest równa długości podstawy dużego trójkąta, analogicznie ma się sprawa z wysokością trzech małych trójkątów.
\(\displaystyle{ a = a_1 + a_2 + a_3}\)

\(\displaystyle{ \frac{S_1}{S}=\frac{\frac{1}{2} a_1 h_1}{\frac{1}{2} a h} =
\frac{a_1 h_1}{a h}= \frac{a_1 h \frac{a_1}{a} }{a h} = \frac{a_1^2 }{a^2} a_1 = a \sqrt{ \frac{S_1}{S}}}\)
podstawiając
\(\displaystyle{ a = a_1 + a_2 + a_3 = a \sqrt{ \frac{S_1}{S}} + a \sqrt{ \frac{S_2}{S}} + a \sqrt{ \frac{S_3}{S}}}\)
\(\displaystyle{ 1 = \sqrt{ \frac{S_1}{S}} + \sqrt{ \frac{S_2}{S}} + \sqrt{ \frac{S_3}{S}}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{ S} = \sqrt{ S_1} + \sqrt{ S_2} + \sqrt{ S_3}}\)
ostatecznie pole trójkąta jest równe
\(\displaystyle{ S = ( \sqrt{ S_1} + \sqrt{S_2} + \sqrt{S_3})^2}\)

[Grzegorz t]

Wielkie dzięki