Przeliczalna suma i iloczyn (zapis przedziału)

[Emiel Regis]

Czytam pewną książkę i widze:
\(\displaystyle{ [a,b]=\bigcap_{n=1}^{\infty}[a,b+\frac{1}{n})}\)
\(\displaystyle{ (a,b]=\bigcup_{n=1}^{\infty}[a+\frac{1}{n},b]}\)
Mógłby ktoś sprawdzić prawdziwość w/w równości?
Pierwszej troche nie czuje (czemu np nie domknąć przedziału z prawej?), za to druga to przecież nic innego jak \(\displaystyle{ [a+1,b]}\)

Intuicja mi taki zapis podpowiada:
\(\displaystyle{ (a,b]=\bigcup_{n=1}^{\infty}(a-\frac{1}{n},b]}\)
Dobrze?

[mol_ksiazkowy]

Drizzt napisał:

Intuicja mi taki zapis podpowiada:
\(\displaystyle{ (a,b]=\bigcup_{n=1}^{\infty}(a-\frac{1}{n},b]}\)
Dobrze?

nie, gdyz zbiory te . co latwo zauwazyc sa coraz to "chudsze", tj kazdy nastepny zawiera sie w poprzedim, tak wiec ich suma to po prostu pierwszy z nich ,

[Jan Kraszewski]

Czytam pewną książkę i widze:
\(\displaystyle{ [a,b]=\bigcap_{n=1}^{\infty}[a,b+\frac{1}{n})}\)
\(\displaystyle{ (a,b]=\bigcup_{n=1}^{\infty}[a+\frac{1}{n},b]}\)
Mógłby ktoś sprawdzić prawdziwość w/w równości?
Pierwszej troche nie czuje (czemu np nie domknąć przedziału z prawej?)

Po domknięciu też byłoby dobrze, ale widocznie Autor co innego miał na myśli - na przykład chciał pokazać, że biorąc przekrój przedziałów otwartych można otrzymać przedział domknięty.

, za to druga to przecież nic innego jak \(\displaystyle{ [a+1,b]}\)

To coś zdecydowanie innego. Gdybyś zamiast sumy wpisał przekrój, to istotnie byłoby \(\displaystyle{ [a+1,b]}\). Ale tam jest jednak suma...
JK

[Emiel Regis]

No jasne
ech, nie wiem skad mój pomysł ze im wieksza lewa liczba tym wiekszy przedzial...

A co do domknięcia to mówisz że zachodzą równości:

Po domknięciu też byłoby dobrze

\(\displaystyle{ [a,b]=\bigcap_{n=1}^{\infty}[a,b+\frac{1}{n}) =\bigcap_{n=1}^{\infty}[a,b+\frac{1}{n}]}\)
\(\displaystyle{ (a,b]=\bigcup_{n=1}^{\infty}[a+\frac{1}{n},b] =\bigcup_{n=1}^{\infty}(a+\frac{1}{n},b]}\)


?
Tego ciągle nie widze... Możesz jakoś zobrazować?
(ta druga przez analogię, choć trudno mówić o analogiach jak sie nie widzi wyjściowych faktów)

[mol_ksiazkowy]

Drizzt napisał:

\(\displaystyle{ [a,b]=\bigcap_{n=1}^{\infty}[a,b+\frac{1}{n}) =\bigcap_{n=1}^{\infty}[a,b+\frac{1}{n}]}\)

wez sobie np a=0, b=1 i zabacz ja chudna kolejne zbiory -mozesz tez sobie wypisac-, patrz poniżej, ..... a zobaczysz co jest przecieciem ich wszystkich , tj czescia wspolna...piszesz ...choć trudno mówić o analogiach jak sie nie widzi wyjściowych faktów, no i zobaczysz je teraz, tu nie ma nic trudnego.
\(\displaystyle{ [0, \frac{2}{1}]}\)
\(\displaystyle{ [0, \frac{3}{2}]}\)
\(\displaystyle{ [0, \frac{4}{3}]}\)
\(\displaystyle{ [0, \frac{5}{4}]}\)
\(\displaystyle{ [0, \frac{6}{5}]}\)
.....
etc

[Emiel Regis]

Tak, to jest jasne, mi chodzi o drugą równość.
Tą:

\(\displaystyle{ \bigcap_{n=1}^{\infty}[a,b+\frac{1}{n}) =\bigcap_{n=1}^{\infty}[a,b+\frac{1}{n}]}\)

Takie dwa ciągi zbiorów:

\(\displaystyle{ [0,1+\frac{1}{1}], [0,1+\frac{1}{2}], [0,1+\frac{1}{3}], [0,1+\frac{1}{4}], ...}\)
\(\displaystyle{ [0,1+\frac{1}{1}), [0,1+\frac{1}{2}), [0,1+\frac{1}{3}), [0,1+\frac{1}{4}), ...}\)
I jako że mam przecięcie coraz mniejszych zbiorów to sobie je wyobrazam jako "ostatni" zbior czyli granicę biorę.
\(\displaystyle{ \bigcap_{n=1}^{\infty}[0,1+\frac{1}{n}] = \lim_{x \to \infty}[0,1+\frac{1}{n}]}\)
\(\displaystyle{ \bigcap_{n=1}^{\infty}[0,1+\frac{1}{n}) = \lim_{x \to \infty}[0,1+\frac{1}{n})}\)
Nie wiem czy tak można zapisac. No ale jeśli można to wtedy jasne że nie zachodzi równość.
Tak wiec albo niech ktoś poprawi moją intuicje albo może w jakiś formalny sposob pokaże w/w równość.

[max]

jeśli można to wtedy jasne że nie zachodzi równość

No niestety nie można...
Nietrudno pokazać, że:
\(\displaystyle{ \left[0, 1\right]\subseteq \bigcap_{n = 1}^{\infty}\left[0, 1 + \tfrac{1}{n}\right)}\)
oraz
\(\displaystyle{ \bigcap_{n = 1}^{\infty}\left[0, 1 + \tfrac{1}{n}\right) \subseteq [0, 1]}\)
więc
\(\displaystyle{ \bigcap_{n = 1}^{\infty}\left[0, 1 + \tfrac{1}{n}\right) = [0, 1]}\)

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ (a,b]=\bigcup_{n=1}^{\infty}[a+\frac{1}{n},b] =\bigcup_{n=1}^{\infty}(a+\frac{1}{n},b]}\)?
Tego ciągle nie widze...

No i nic dziwnego, bo to nie jest prawda. Przecież \(\displaystyle{ a\in\bigcup_{n=1}^{\infty}[a+\frac{1}{n},b]\setminus(a,b]}\)...
Jak słusznie zauważyłeś, mechaniczne manipulacje symbolami bez ich zrozumienia nie prowadzą do niczego dobrego. Zamiast zbyt polegać na intuicji lepiej sobie trochę porysować tych przedziałów i pamietać, że przekrój rodziny zbiorów składa się z tych elementów, które należą do wszystkich zbiorów z tej rodziny, a suma rodziny zbiorów składa się z tych elementów, które należą do któregoś zbioru z tej rodziny (przynajmjniej jednego). Potocznie sumę rodziny zbiorów otrzymujemy biorąc wszystkie elementy wszystkich zbiorów z tej rodziny "do kupy".

JK

[Emiel Regis]

max:
Ta druga inkluzja budziła moje wątpliwości, jednak wyglada że już przestała. Wydawalo mi sie ze przeciez ten iloczyn to coś wiecej, ale przecież poza jedynką wbrew pozorom żaden inny element na prawo od niej nie należy już do tego iloczynu.
Dzieki.

Jan Kraszewski:
Narysowałem sobie to dokładnie i chyba już to wszystko widze. No przynajmniej bym widział gdybyś zdania nie zmienił... Po kolei:

Na poczatku napisalem dwie równości:
(które teraz już uwazam za prawdziwe)

\(\displaystyle{ [a,b]=\bigcap_{n=1}^{\infty}[a,b+\frac{1}{n})}\)
\(\displaystyle{ (a,b]=\bigcup_{n=1}^{\infty}[a+\frac{1}{n},b]}\)
Zgodziłeś się że są prawdziwe, przy czym przy pierwszej zaproponowaleś że można domknąć przedział z prawej strony przy sumowaniu.

A teraz odnośnie drugiej piszesz...

\(\displaystyle{ a\in\bigcup_{n=1}^{\infty}[a+\frac{1}{n},b]\setminus(a,b]}\)

Co raz, jest sprzeczne z poprzednimi Twoimi słowami a dwa wydaje mi się nieprawdziwe... Bo {a} nie należy przecież do żadnego przedziału sumowania, wiec i do sumy nie należy. Chyba że mam już zbyt duży mętlik w głowie.

Podsumowujac prosiłbym jeszcze abys się odniósł do dwóch moich wariacji poprzednich przedziałów. Mianowicie:
\(\displaystyle{ [a,b]=\bigcap_{n=1}^{\infty}(a-\frac{1}{n},b+\frac{1}{n})}\)
\(\displaystyle{ (a,b)=\bigcup_{n=1}^{\infty}[a+\frac{1}{n},b-\frac{1}{n}]}\)
Jeśli są prawdziwe znaczy że już to widze ładnie.
Co do drugiej równości uwaga że dla małych a,b należy sumowac od wiekszej liczby niż 1 bo się przedział odwraca. Np a=0, b=1 należy sumować od n=2.

[Jan Kraszewski]

Już się tłumaczę (i przepraszam za zamieszanie).

Jan Kraszewski:
Narysowałem sobie to dokładnie i chyba już to wszystko widze. No przynajmniej bym widział gdybyś zdania nie zmienił... Po kolei:

Na poczatku napisalem dwie równości:
(które teraz już uwazam za prawdziwe)

\(\displaystyle{ [a,b]=\bigcap_{n=1}^{\infty}[a,b+\frac{1}{n})}\)
\(\displaystyle{ (a,b]=\bigcup_{n=1}^{\infty}[a+\frac{1}{n},b]}\)
Zgodziłeś się że są prawdziwe, przy czym przy pierwszej zaproponowaleś że można domknąć przedział z prawej strony przy sumowaniu.

Tak, wtedy się nie pomyliłem... A domknięcie Ty zaproponowałeś .

A teraz odnośnie drugiej piszesz...

\(\displaystyle{ a\in\bigcup_{n=1}^{\infty}[a+\frac{1}{n},b]\setminus(a,b]}\)

Co raz, jest sprzeczne z poprzednimi Twoimi słowami a dwa wydaje mi się nieprawdziwe... Bo {a} nie należy przecież do żadnego przedziału sumowania, wiec i do sumy nie należy. Chyba że mam już zbyt duży mętlik w głowie.

Nie, tym razem pomyliłem się, a powodem tej pomyłki był pośpiech (wtedy często czyta się nie to, co w rzeczywistości jest napisane...). To, co napisałem, jest oczywiście nieprawdą, jak słusznie zauważyłeś. Errare humanum est.

Podsumowujac prosiłbym jeszcze abys się odniósł do dwóch moich wariacji poprzednich przedziałów. Mianowicie:
\(\displaystyle{ [a,b]=\bigcap_{n=1}^{\infty}(a-\frac{1}{n},b+\frac{1}{n})}\)
\(\displaystyle{ (a,b)=\bigcup_{n=1}^{\infty}[a+\frac{1}{n},b-\frac{1}{n}]}\)
Jeśli są prawdziwe znaczy że już to widze ładnie.
Co do drugiej równości uwaga że dla małych a,b należy sumowac od wiekszej liczby niż 1 bo się przedział odwraca. Np a=0, b=1 należy sumować od n=2.

Tak, to jest dobrze, gratuluję zrozumienia.

JK