całka nieoznaczona

[mat1989]

mamy do policzenia taką całkę(Analiza matematyczna-Krysicki, Włodarski) :
\(\displaystyle{ I=\int(x^2+a^2)}\)x\(\displaystyle{ dx}\)
tylko zastanawia mnie sposób w jaki policzono ją przez podstawianie:
\(\displaystyle{ x^2+a^2=u\\2xdx=du\\xdx=\frac{1}{2}du\\I=\frac{1}{2}\int udu\\I=\frac{1}{4}u^2+C'\\I=\frac{1}{4}(x^2+a^2)^2+C'}\)
chodzi mi o to co się stało z tym czerwonym x?

[scyth]

\(\displaystyle{ (x^2 + a^2)}\) zmieniło się na \(\displaystyle{ u}\)
\(\displaystyle{ xdx}\) zmieniło się na \(\displaystyle{ \frac{1}{2}du}\)

Czyli \(\displaystyle{ (x^2+a^2) \ xdx = u \ \frac{1}{2}du}\).

[mat1989]

ok, dzięki.
a mógłby jeszcze ktoś pokazać jak obliczyć
\(\displaystyle{ \int\frac{xdx}{x^2+a^2}}\)?

[scyth]

tak samo stosujesz podstawienie jak w poprzednim przykładzie i otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \int\frac{xdx}{x^2+a^2}=\frac{1}{2} t \frac{du}{u}= \frac{1}{2} ln|u|+C=\frac{1}{2} ln(x^2+a^2)+C}\)