1. Udowodnić, że funkcja: \(\displaystyle{ f(x) = ft\{ \begin{array}{l}
1,{\rm{ }}x Q \\
0,{\rm{ }}x R\backslash Q \\
\end{array} \right.}\) nie jest ciągła w żadnym punkcie zbioru \(\displaystyle{ R}\)
2. Wykazać, że funkcja \(\displaystyle{ f(x) = x^2}\) jest jednostajnie ciągła na odcinku \(\displaystyle{ \left( {0,1} \right)}\)
3. Czy \(\displaystyle{ f(\Delta )}\), obraz przedziału ograniczonego \(\displaystyle{ \Delta}\) przez funkcję ciągłą \(\displaystyle{ f}\), jest przedziałem ograniczonym? I jak jest dla przeciwobrazu?
Ciągłość funkcji
-
soku11
- Użytkownik
- Posty: 6607
- Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 119 razy
- Pomógł: 1823 razy
Ciągłość funkcji
2. Moze wystarczy tak:
\(\displaystyle{ f(x)=x^2\ \ \ D_f=R\\
f'(x)=2x\ \ \ D_{f'}=R\\
f'(x)>0\ \iff x>0\\
\lim_{x\to 0}f(x)=0\\
\lim_{x\to 1}f(x)=1\\
f(0)=0\\
f(1)=1\\}\)
Funkcja ta jest wiec ciagla i rosnaca w podanym zbiorze. POZDRO
\(\displaystyle{ f(x)=x^2\ \ \ D_f=R\\
f'(x)=2x\ \ \ D_{f'}=R\\
f'(x)>0\ \iff x>0\\
\lim_{x\to 0}f(x)=0\\
\lim_{x\to 1}f(x)=1\\
f(0)=0\\
f(1)=1\\}\)
Funkcja ta jest wiec ciagla i rosnaca w podanym zbiorze. POZDRO
-
max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
Ciągłość funkcji
1. Posłuż się definicją Heinego, obierając przy dowolnym ustalonym \(\displaystyle{ x}\) dwa ciągi liczbowe zbieżne do \(\displaystyle{ x}\), jeden o wyrazach wymiernych, a drugi o wyrazach niewymiernych.
2. Z definicji jednostajnej ciągłości, przyjmij \(\displaystyle{ \delta = \varepsilon/2}\)
3. Co to znaczy, że obraz przedziału jest ograniczony przez funkcję?
Może chodzi o to, czy obraz względem funkcji ciągłej przedziału ograniczonego jest ograniczony? Jeśli tak, to prostym kontrprzykładem będzie funkcja:
\(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{x}, \ \Delta = (0, 1)\\
f(\Delta) = (1, +\infty)}\)
Dla przeciwobrazu również można znaleźć kontrprzykład:
\(\displaystyle{ f(x) = e^{x}, \ \Delta = (0,e)\\
f^{-1}(\Delta) = (-\infty, 1)}\)
2. Z definicji jednostajnej ciągłości, przyjmij \(\displaystyle{ \delta = \varepsilon/2}\)
3. Co to znaczy, że obraz przedziału jest ograniczony przez funkcję?
Może chodzi o to, czy obraz względem funkcji ciągłej przedziału ograniczonego jest ograniczony? Jeśli tak, to prostym kontrprzykładem będzie funkcja:
\(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{x}, \ \Delta = (0, 1)\\
f(\Delta) = (1, +\infty)}\)
Dla przeciwobrazu również można znaleźć kontrprzykład:
\(\displaystyle{ f(x) = e^{x}, \ \Delta = (0,e)\\
f^{-1}(\Delta) = (-\infty, 1)}\)
-
spider87
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 1 sie 2007, o 15:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kędzierzyn
- Podziękował: 2 razy
Ciągłość funkcji
Dzięki za pomoc z tymi obrazami funkcji i przeciwobrazami. Właśnie o to chodziło max. Natomiast jeśli chodzi o 1 i 2 zadanie to mam z nimi problemy (właściwie to nie umiem zrobić tego co napisałeś). Byłbym wdzięczny za rozpisanie tych zadań krok po kroku (szczególnie skąd się to wzięło), bo słabo mi takie zadania z definicji wychodzą. I dlaczego w tej definicji jednostajnej ciągłości (2) \(\displaystyle{ \delta= \varepsilon/2}\)? Czy można jakoś do tego dojść? (Sorki, że taki upierdliwy jestem, ale chciałbym to zrozumieć).
-
max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
Ciągłość funkcji
ad 2 Weźmy dowolne \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2} (0, 1)}\). Oczywiście jest:
\(\displaystyle{ |x_{1} + x_{2}| = x_{1} + x_{2} < 2\\
|f(x_{1}) - f(x_{2})| = |x_{1}^{2} - x_{2}^{2}| = |(x_{1} - x_{2})(x_{1} + x_{2})| =\\
= |x_{1} - x_{2}|\cdot |x_{1} + x_{2}| < 2|x_{1} - x_{2}|}\)
stąd widzimy, że dla dowolnych \(\displaystyle{ x_{1},x_{2} \in (0, 1)}\) i dla każdego \(\displaystyle{ \varepsilon > 0}\) jeśli tylko \(\displaystyle{ |x_{1} - x_{2}| qslant \varepsilon/2}\) to
\(\displaystyle{ |f(x_{1}) - f(x_{2})| < 2|x_{1} - x_{2}|\leqslant \varepsilon}\)
i spełniony jest warunek z definicji jednostajnej ciągłości.
ad 1
Wydaje mi się, że wystarczy powołać się na gęstość zbiorów liczb wymiernych i niewymiernych w zbiorze liczb rzeczywistych, z której wynika, że dla każdej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ a}\) istnieją ciągi \(\displaystyle{ (x_{n})_{n\in\mathbb{N}}, (y_{n})_{n\in \mathbb{N}}}\) odpowiednio liczb wymiernych i niewymiernych różnych od tej liczby i zbieżne do niej. Oczywiście przy dowolnym ustalonym \(\displaystyle{ a\in \mathbb{R}}\):
\(\displaystyle{ \lim_{n\to }f(x_{n}) = 1\\
\lim_{n\to }f(y_{n}) = 0}\)
i na mocy definicji Heinego w każdym punkcie \(\displaystyle{ a\in \mathbb{R}}\) granica funkcji \(\displaystyle{ f}\) nie istnieje, w związku z czym funkcja ta ma w każdym punkcie tego zbioru nieciągłość.
\(\displaystyle{ |x_{1} + x_{2}| = x_{1} + x_{2} < 2\\
|f(x_{1}) - f(x_{2})| = |x_{1}^{2} - x_{2}^{2}| = |(x_{1} - x_{2})(x_{1} + x_{2})| =\\
= |x_{1} - x_{2}|\cdot |x_{1} + x_{2}| < 2|x_{1} - x_{2}|}\)
stąd widzimy, że dla dowolnych \(\displaystyle{ x_{1},x_{2} \in (0, 1)}\) i dla każdego \(\displaystyle{ \varepsilon > 0}\) jeśli tylko \(\displaystyle{ |x_{1} - x_{2}| qslant \varepsilon/2}\) to
\(\displaystyle{ |f(x_{1}) - f(x_{2})| < 2|x_{1} - x_{2}|\leqslant \varepsilon}\)
i spełniony jest warunek z definicji jednostajnej ciągłości.
ad 1
Wydaje mi się, że wystarczy powołać się na gęstość zbiorów liczb wymiernych i niewymiernych w zbiorze liczb rzeczywistych, z której wynika, że dla każdej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ a}\) istnieją ciągi \(\displaystyle{ (x_{n})_{n\in\mathbb{N}}, (y_{n})_{n\in \mathbb{N}}}\) odpowiednio liczb wymiernych i niewymiernych różnych od tej liczby i zbieżne do niej. Oczywiście przy dowolnym ustalonym \(\displaystyle{ a\in \mathbb{R}}\):
\(\displaystyle{ \lim_{n\to }f(x_{n}) = 1\\
\lim_{n\to }f(y_{n}) = 0}\)
i na mocy definicji Heinego w każdym punkcie \(\displaystyle{ a\in \mathbb{R}}\) granica funkcji \(\displaystyle{ f}\) nie istnieje, w związku z czym funkcja ta ma w każdym punkcie tego zbioru nieciągłość.