Ostatnio zauważyłem taką pewną prawidłowość, że aby zamienić ułamek okresowy na ułamek zwykły wystarczy podzielić liczbę przez tyle dziewiątek z ilu składa się ta liczba.
przykładowo:
0,(3)=3/9=1/3
0,(27)=27/99
0,(123)=123/999
da się tą metodę w jakiś sposób udowodnić?
ułamki okresowe
-
- Użytkownik
- Posty: 8601
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1816 razy
ułamki okresowe
Wydaję mi się, że to bezpośrednio wynika z tego, że:
\(\displaystyle{ x = 0.3333\ldots\\
10x = 3.333\ldots\\
9x = 3\\
x = \frac{3}{9}}\)
I tak samo jak pownarza się n cyfr, jednak wtedy mnożymy (x) przez \(\displaystyle{ 10^n}\) i potem zawsze odejmujemy od tego 1. Czyli coś takiego:
\(\displaystyle{ \frac{\overbrace{2563 \ldots 33}^{n \, \, cyfr}}{10^n - 1}}\)
\(\displaystyle{ x = 0.3333\ldots\\
10x = 3.333\ldots\\
9x = 3\\
x = \frac{3}{9}}\)
I tak samo jak pownarza się n cyfr, jednak wtedy mnożymy (x) przez \(\displaystyle{ 10^n}\) i potem zawsze odejmujemy od tego 1. Czyli coś takiego:
\(\displaystyle{ \frac{\overbrace{2563 \ldots 33}^{n \, \, cyfr}}{10^n - 1}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 236
- Rejestracja: 24 lis 2006, o 22:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: -----
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 26 razy
ułamki okresowe
Chodzilo mi o takie cos:
\(\displaystyle{ 0,(ab \ldots c)=\frac{\overbrace{0,ab \ldots c}^{n \, \, cyfr}}{1-10^{-n}}=\frac{\overbrace{ab \ldots c}^{n \, \, cyfr}}{\underbrace{99\ldots 9}_{n \, \, cyfr}}}\)
\(\displaystyle{ 0,(ab \ldots c)=\frac{\overbrace{0,ab \ldots c}^{n \, \, cyfr}}{1-10^{-n}}=\frac{\overbrace{ab \ldots c}^{n \, \, cyfr}}{\underbrace{99\ldots 9}_{n \, \, cyfr}}}\)