chciałbym porownac moje rozwiazanie z rozwiazaniem drugiej osoby nastepujacego rownania rozniczkowego:
\(\displaystyle{ a\cdot y''(x)+b\cdot y(x)=c\cdot e^{-d\cdot x}}\)
gdzie: a, b, c, d - podane stałe, e - liczba eulera.
Dodtakowo są znane warunki brzegowe:
dla x=0: y(x)=0
dla x=0: y'(x)=0
z gory bardzo dziekuje za zaintereswanie
trudne r-nie różniczkowe
-
luka52
- Użytkownik
- Posty: 8601
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1816 razy
trudne r-nie różniczkowe
Popraw temat - "trudne równanie" niewiele mówi i jest dość subiektywnym określeniem.
Układamy równanie charakterystyczne równania jednorodnego:
\(\displaystyle{ a r^2 + b = 0 r^2 = - \frac{b}{a}}\)
I tutaj w zależności od tego czy lewa strona powyższego równania jest większa, równa bądź też mniejsza od zera możliwe są różne opcje. Jednak założę tą że ta trzecia możliwość mamiejsce, wtedy rozwiązaniem równania jednorodnego jest:
\(\displaystyle{ y_1 = A \cos \frac{x \sqrt{b}}{\sqrt{a}} + B \sin \frac{x \sqrt{b}}{\sqrt{a}}}\)
(--edit-- choć wydaje mi się że dla dowolnych a i b powyższy wzór będzie prawdziwy --/edit--)
Następnie należy wyznaczyć całkę szczególną naszego równania. Najlepiej do tego celu zastosować metodę uzmienniania zmiennych.
Nie będę tutaj pisał wszystkich obliczeń, gdyż jest to trochę roboty. Jednak z moich wstępnych obliczeń wychodzi, że
\(\displaystyle{ y_2 = \frac{c e^{- dx}}{b + ad^2}}\)
Czyli ostatecznie, uwzględniając już warunki początkowe:
\(\displaystyle{ y(x) = - \frac{c}{b + ad^2} \cos \frac{x \sqrt{b}}{\sqrt{a}} + \frac{cd \sqrt{a}}{(b+ad^2) \sqrt{b}} \sin \frac{x \sqrt{b}}{\sqrt{a}} + \frac{c e^{- dx}}{b + ad^2}}\)
Układamy równanie charakterystyczne równania jednorodnego:
\(\displaystyle{ a r^2 + b = 0 r^2 = - \frac{b}{a}}\)
I tutaj w zależności od tego czy lewa strona powyższego równania jest większa, równa bądź też mniejsza od zera możliwe są różne opcje. Jednak założę tą że ta trzecia możliwość mamiejsce, wtedy rozwiązaniem równania jednorodnego jest:
\(\displaystyle{ y_1 = A \cos \frac{x \sqrt{b}}{\sqrt{a}} + B \sin \frac{x \sqrt{b}}{\sqrt{a}}}\)
(--edit-- choć wydaje mi się że dla dowolnych a i b powyższy wzór będzie prawdziwy --/edit--)
Następnie należy wyznaczyć całkę szczególną naszego równania. Najlepiej do tego celu zastosować metodę uzmienniania zmiennych.
Nie będę tutaj pisał wszystkich obliczeń, gdyż jest to trochę roboty. Jednak z moich wstępnych obliczeń wychodzi, że
\(\displaystyle{ y_2 = \frac{c e^{- dx}}{b + ad^2}}\)
Czyli ostatecznie, uwzględniając już warunki początkowe:
\(\displaystyle{ y(x) = - \frac{c}{b + ad^2} \cos \frac{x \sqrt{b}}{\sqrt{a}} + \frac{cd \sqrt{a}}{(b+ad^2) \sqrt{b}} \sin \frac{x \sqrt{b}}{\sqrt{a}} + \frac{c e^{- dx}}{b + ad^2}}\)