Rozwiąż równanie

[kluczyk]

Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ 1+\frac{2}{x}+\frac{4}{x^{2}}+...=a}\) , gdzie a jest rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ 5^{x}+3\cdot5^{x-2}=140}\)

[luka52]

Lewa strona to suma nieskończonego ciągu geometrycznego o \(\displaystyle{ a_1 = 1}\) i \(\displaystyle{ q = \frac{2}{x}}\)
Aby wyznaczyć a, w tym drugim równaniu podstaw \(\displaystyle{ t = 5^{x-2}}\)
Pamiętaj, że \(\displaystyle{ \left| \frac{x}{2} \right| < 1}\)

[Kasiula@]

1. Rozwiązujesz równanie: \(\displaystyle{ 5^{x}+3\cdot 5^{x-2}=140}\)
Jest ono równoważne równaniu: \(\displaystyle{ 5^{x}=5^{3}}\),czyli \(\displaystyle{ 5^{x-3}=1}\). Nakładamy na równość obustronnie logarytm naturalny i otrzymujemy:
\(\displaystyle{ (x-3)\ln5=0}\),ponieważ \(\displaystyle{ ln5 0[ ex],więc \(\displaystyle{ x-3=0}\),czyli x=3

2. Musimy rozwiązać następującą równość:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{\infty}(\frac{2}{x})^{k}=3}\)
Wystarczy zauważyć,że aby zaszła dana równość to (*)\(\displaystyle{ |\frac{2}{x}|}\)}\)