Zbieżnośc szeregu

[sq]

Zbadać czy poniższe szeregi są bezwzględnie zbieżne, warunkowo zbieżne, czy rozbieżne.

Kombinuje i mi nie wychodzi.
1) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac {(-1)^{n}\sqrt{n}}{n+1}}\)

2) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac {(-1)^{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}\)

Proszę o pomoc.

[mol_ksiazkowy]

oba są warunkowwo zbiezne (kryt Leibnitza), ale nie sa bezwzglednie....

[sq]

Tak, tylko jak to zrobić?

[mol_ksiazkowy]

sq napisał

Kombinuje i mi nie wychodzi.

1)
kryt Leibniza =jest tu bardzo przydatne, i mowi ono, ze szereg s , zapisany ponizej jest zbiezny o ile ciag an jest o wyrazach dodatnich, malejacy i zbiezny do zera...., tj
\(\displaystyle{ s =\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n}a_n}\)


\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac {(-1)^{n}\sqrt{n}}{n+1}}\)

2) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac {(-1)^{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}\)
tak wiec ad 1 ciag \(\displaystyle{ a_n=\frac{\sqrt{n}}{n+1}}\) a w ad2 \(\displaystyle{ a_n=\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}}\) istotnie maja te wlasnoci, z koeji bezwzglednej zbieznosci brak, bo

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac {\sqrt{n}}{n+1}= +\infty}\)

2) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac {1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=+\infty}\)

[sq]

Bardzo dziękuję za odpowiedź, ale nie do końca rozumiem i jeżeli mogę to proszę o parę słów wyjaśnienia.

Według kryterium Leibniza obydwa szeregi naprzemienne są zbieżne ponieważ 1) ciag an jest nierosnący i 2) granica ciagu an zmierza do zera.

Chcąc sprawdzić czy szereg jest bezwzględnie zbieżny należy sprawdzić czy szereg utworzony z bezwględnych wartości wyrazów danego szeregu jest zbieżny. I tak, w pierwszym przypadku jest to
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{n+1}}}\)
a w drugim
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}\)

Nie wiem jak pokazać i obliczyć granicę tych szeregów żeby równała się nieskończoność?

[przemk20]

\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt n} = \sqrt{n+1} - \sqrt n}\)

[mol_ksiazkowy]

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac {\sqrt{n}}{n+1} q \ \sum_{n=1}^{\infty} \frac {\sqrt{n}}{2n} = \ \sum_{n=1}^{\infty} \frac {1}{2\sqrt{n}} = +\infty}\)

[sq]

Tak jest! Dziękuję bardzo!