Obliczyć pola następujących obszarów:
1) \(\displaystyle{ A = \{ (x,y)\in\RR^2 |0 < x < \pi ,0 < y < x^2 \}}\)
2) \(\displaystyle{ A = \{ (x,y)\in\RR^2 |0 < x < \frac{\pi }{4},\sin x < y < \cos x\}}\)
3) Obszar ograniczony wykresami krzywych \(\displaystyle{ y = \sin x}\), \(\displaystyle{ y = \cos x}\), \(\displaystyle{ x = - \frac{\pi }{4}}\) i \(\displaystyle{ x = \frac{\pi }{4}}\)
Pola obszarów
-
luka52
- Użytkownik
- Posty: 8297
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1814 razy
Pola obszarów
ad 1.
\(\displaystyle{ S = \int\limits_{0}^{\pi} \, \int\limits_{0}^{x^2} \, \mbox{d}y = \int\limits_{0}^{\pi} \left( x^2 - 0 \right) \, = \frac{x^3}{3} \Big|_0^{\pi} = \frac{\pi^3}{3}}\)
ad 2.
Analogicznie jak 1.
ad 3.
\(\displaystyle{ S = \int\limits_{- \frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \, \int\limits_{\sin x}^{\cos x} \, \mbox{d}y = \int\limits_{- \frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) \, = \left[\cos x + \sin x \right]_{- \frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} = \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ S = \int\limits_{0}^{\pi} \, \int\limits_{0}^{x^2} \, \mbox{d}y = \int\limits_{0}^{\pi} \left( x^2 - 0 \right) \, = \frac{x^3}{3} \Big|_0^{\pi} = \frac{\pi^3}{3}}\)
ad 2.
Analogicznie jak 1.
ad 3.
\(\displaystyle{ S = \int\limits_{- \frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \, \int\limits_{\sin x}^{\cos x} \, \mbox{d}y = \int\limits_{- \frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) \, = \left[\cos x + \sin x \right]_{- \frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} = \sqrt{2}}\)