1. W daną kulę o promieniu r wpisano prawidłowy ostrosłup czworokątny. Zbadać przebieg zmienności objętości tego ostrosłupa.
2. Zbadać przebieg zmienności powierzchni bocznej walca wpisanego w kulę o promieniu r.
Byłbym wdzięczny za rozpisanie tych zadań bardzo łopatologicznie, skąd się dany wzór wziął.
Przebieg zmienności
-
Tristan
- Użytkownik
- Posty: 2333
- Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 557 razy
Przebieg zmienności
Ad 2:
Naszkicuj sobie przekrój kuli, w którą wpisano walec. Niech środkiem kuli będzie punkt O. Dany przekrój zawiera prostokąt. Niech będzie to prostokąt ABCD. Rozważmy trójkąt ABO. Z punktu O pada wysokość na odcinek AB w punkcie E. Mamy więc, że \(\displaystyle{ |AO|=r}\). Jeśli oznaczymy promień walca przez R i wysokość przez h, to \(\displaystyle{ |AE|=R, |OE|= \frac{h}{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ h (0; 2r)}\). Przy tych oznaczeniach pole powierzchni bocznej walca to \(\displaystyle{ P_{b}= 2 \pi Rh}\), gdzie z twierdzenia Pitagorasa \(\displaystyle{ R= \frac{1}{2} \sqrt{4r^2 - h^2}}\). Czyli \(\displaystyle{ P_{b}= 2 \pi \frac{1}{2} \sqrt{4r^2 - h^2} = \pi \sqrt{ 4f^2 h^2 - h^4 }}\). Myślę, że nie będziesz miał problemu ze zbadaniem przebiegu tej funkcji. Dodam, że pochodną powienieś otrzymać taką \(\displaystyle{ P_{b}'= \frac{ 2 \pi (2r^2 - h^2) }{ \sqrt{ 4r^2 - h^2} }}\).
Naszkicuj sobie przekrój kuli, w którą wpisano walec. Niech środkiem kuli będzie punkt O. Dany przekrój zawiera prostokąt. Niech będzie to prostokąt ABCD. Rozważmy trójkąt ABO. Z punktu O pada wysokość na odcinek AB w punkcie E. Mamy więc, że \(\displaystyle{ |AO|=r}\). Jeśli oznaczymy promień walca przez R i wysokość przez h, to \(\displaystyle{ |AE|=R, |OE|= \frac{h}{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ h (0; 2r)}\). Przy tych oznaczeniach pole powierzchni bocznej walca to \(\displaystyle{ P_{b}= 2 \pi Rh}\), gdzie z twierdzenia Pitagorasa \(\displaystyle{ R= \frac{1}{2} \sqrt{4r^2 - h^2}}\). Czyli \(\displaystyle{ P_{b}= 2 \pi \frac{1}{2} \sqrt{4r^2 - h^2} = \pi \sqrt{ 4f^2 h^2 - h^4 }}\). Myślę, że nie będziesz miał problemu ze zbadaniem przebiegu tej funkcji. Dodam, że pochodną powienieś otrzymać taką \(\displaystyle{ P_{b}'= \frac{ 2 \pi (2r^2 - h^2) }{ \sqrt{ 4r^2 - h^2} }}\).