\(\displaystyle{ a_1=1}\) \(\displaystyle{ a_{n+1}=\frac{a_n}{2}+\frac{1}{a_n}}\)
Wykaż, że \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\)
Ciąg- wykaz, ze:
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11415
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 236
- Rejestracja: 24 lis 2006, o 22:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: -----
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 26 razy
Ciąg- wykaz, ze:
zrobilem zadanie bez twojej podpowiedzi mol_ksiazkowy o tak:
\(\displaystyle{ a_{n+1}=2(\frac{\frac{a_n}{2}+\frac{1}{a_n}}{2})>2\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}}\)
Niech \(\displaystyle{ b_n=a_n-\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ b_{n+1}=a_{n+1}-\sqrt{2}=\frac{a_n}{2}+\frac{1}{a_n}-\sqrt{2}=\frac{1}{b_n+\sqrt{2}}+\frac{b_n+\sqrt{2}}{2}-\sqrt{2}=\frac{(b_n)^2}{2(b_n+\sqrt{2}}=\frac{(b_n)^2}{2a_n}}\)
\(\displaystyle{ a_{n+1}=2(\frac{\frac{a_n}{2}+\frac{1}{a_n}}{2})>2\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}}\)
Niech \(\displaystyle{ b_n=a_n-\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ b_{n+1}=a_{n+1}-\sqrt{2}=\frac{a_n}{2}+\frac{1}{a_n}-\sqrt{2}=\frac{1}{b_n+\sqrt{2}}+\frac{b_n+\sqrt{2}}{2}-\sqrt{2}=\frac{(b_n)^2}{2(b_n+\sqrt{2}}=\frac{(b_n)^2}{2a_n}}\)