pole lemniskaty, pętli Kartezjusza i inne

[e-Milion]

witam wszystkich
potrzebuje pomocy (zwory) - nie wiem jak obliczyć:

a) pole ograniczone lemniskatą
b) pole pętli Kartezjusza
c) długość jednego łuku epicykloidy
d) długość ślimaka Pascala

mile widziane wyprowadzenie tych wzorów
pozdrawiam

[luka52]

ad a.
Tutaj nie powinno być problemów gdy skorzystamy z równania lemniskaty we współrzędnych biegunowych. Obliczenia sprowadzają się do "prościutkiej" całki:
\(\displaystyle{ S = 2 \frac{1}{2} \int\limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} 2 a^2 \cos 2\theta \, \mbox{d}\theta = 2 a^2}\)

ad b.
Wygodnie będzie skorzystać z równania pętli Kartezjusza we współrzędnych biegunowych.
Rachunki sprowadzą się wtedy do:
\(\displaystyle{ S = \frac{9a^2}{2} \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{\sin \theta \cos \theta}{\sin^3 \theta + \cos^3 \theta} \right)^2 \, \mbox{d}\theta}\)
Przy obliczaniu tej całki proponuję podstawić \(\displaystyle{ t = \tan \theta}\) obliczenia się znacznie upraszczają.
Oczywiście wynik to:
\(\displaystyle{ S = \frac{3}{2}a^2}\)

ad c. i d.
Tutaj nie jestem pewien czy można otrzymać dokładny wynik, gdyż napotykam całki eliptyczne w obliczeniach

PS. Co prawda temat jest ze stycznia, ale mam nadzieję, że komuś przydadzą się moje obliczenia

[laser15]

skąd wiadomo że to od \(\displaystyle{ \int_{\frac{\pi}{4}}^{-\frac{\pi}{4}}}\) ?

Po podstawieniu wyszła mi całka \(\displaystyle{ S = 2 \cdot \frac{1}{2} \int\limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} 2 a^2 \sin\theta\cos \theta \, \mbox{d}\theta}\) i całka oznaczona wyszła 0 ;/