Całka podwójna w trzecim wymiarze

[zielony789]

Oblicz pole powierzchniczęśći paraboloidy \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=2z}\) leżącej wewnątrz walca \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=2}\)

[luka52]

\(\displaystyle{ S = \int\limits_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \, \int \limits_{- \sqrt{2 - x^2}}^{ \sqrt{2 - x^2}} \sqrt{1 + z_x'^2 + z_y'^2} \, \mbox{d}y}\)
Wygodniej będzie obliczać tą całkę we współrzędnych biegunowych, tj:
\(\displaystyle{ S = \int\limits_{0}^{2 \pi} \, \mbox{d}\theta \int_{0}^{\sqrt{2}} \rho \sqrt{1 + \rho^2} \, \mbox{d}\rho = 2 \sqrt{3} \pi - \frac{2}{3} \pi}\)

[zielony789]

Pierwiastek który pojawił się za znakiem całek to jest wzór?

[luka52]

Tak, gdyż. W sumie, to chyba lepiej byłoby gdybym zapisał to tak:
\(\displaystyle{ S = \iint\limits_S \, \mbox{d}S = \iint\limits_D \sqrt{1 + \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right)^2 } \, \, \mbox{d}y}\)
gdzie \(\displaystyle{ \mbox{d}S = \sqrt{1 + \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right)^2 } \, \, \mbox{d}y}\) to różniczka powierzchni.