\(\displaystyle{ x,y,z>0}\)
\(\displaystyle{ x+y+z=1}\)
Udowodnij, ze:
\(\displaystyle{ 0\leqslant xy+xz+yz-2xyz\leqslant \frac{7}{27}}\)
udowodnij nierownosc
-
Tristan
- Użytkownik
- Posty: 2353
- Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 557 razy
udowodnij nierownosc
Przedstawię rozwiązanie które jest zamieszczone w książce Lva Kourliandtchika "Impresje liczbowe":
Lewą nierówność łatwo udowodnić, ponieważ \(\displaystyle{ xy +yz+zx-2xyz=xy(1-z)+yz(1-x)+zx q 0}\). DLa dowodu prawej rozważmy wielomian \(\displaystyle{ P(t)=(t-x)(t-y)(t-z)=t^3 - t^2 +qt+r}\), gdzie \(\displaystyle{ q=xy+yz+zx, r=-xyz}\), i zapiszmy nierówność tak \(\displaystyle{ q+2r q \frac{7}{27}}\).
Ponieważ \(\displaystyle{ P( \frac{1}{2} )= - \frac{1}{8} + \frac{1}{2} q+r= - \frac{1}{8} + \frac{q+2r}{2}}\), wystarczy wykazać, że \(\displaystyle{ P( \frac{1}{2} ) q \frac{1}{216}}\). Jeśli wszystkie liczby x,y,z są nie większe niż \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), to na mocy nierówności pomiędzy średnią arytmetyczną i geometyczną mamy \(\displaystyle{ P( \frac{1}{2} )=( \frac{1}{2} - x)( \frac{1}{2} - y)( \frac{1}{2} - z) q ( \frac{ \frac{1}{2} - x+ \frac{1}{2} - y + \frac{1}{2} - z }{3})^3 = ( \frac{1}{6})^3=\frac{1}{216}}\).
Jeśli któraś z tych liczb jest większa niż \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) ( taka liczba może być tylko jedna), to \(\displaystyle{ P( \frac{1}{2} )=( \frac{1}{2} - x)( \frac{1}{2} - y)( \frac{1}{2} - z) q 0}\).
Lewą nierówność łatwo udowodnić, ponieważ \(\displaystyle{ xy +yz+zx-2xyz=xy(1-z)+yz(1-x)+zx q 0}\). DLa dowodu prawej rozważmy wielomian \(\displaystyle{ P(t)=(t-x)(t-y)(t-z)=t^3 - t^2 +qt+r}\), gdzie \(\displaystyle{ q=xy+yz+zx, r=-xyz}\), i zapiszmy nierówność tak \(\displaystyle{ q+2r q \frac{7}{27}}\).
Ponieważ \(\displaystyle{ P( \frac{1}{2} )= - \frac{1}{8} + \frac{1}{2} q+r= - \frac{1}{8} + \frac{q+2r}{2}}\), wystarczy wykazać, że \(\displaystyle{ P( \frac{1}{2} ) q \frac{1}{216}}\). Jeśli wszystkie liczby x,y,z są nie większe niż \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), to na mocy nierówności pomiędzy średnią arytmetyczną i geometyczną mamy \(\displaystyle{ P( \frac{1}{2} )=( \frac{1}{2} - x)( \frac{1}{2} - y)( \frac{1}{2} - z) q ( \frac{ \frac{1}{2} - x+ \frac{1}{2} - y + \frac{1}{2} - z }{3})^3 = ( \frac{1}{6})^3=\frac{1}{216}}\).
Jeśli któraś z tych liczb jest większa niż \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) ( taka liczba może być tylko jedna), to \(\displaystyle{ P( \frac{1}{2} )=( \frac{1}{2} - x)( \frac{1}{2} - y)( \frac{1}{2} - z) q 0}\).