Czy można scalkować elipsoidę we współrzędnych sferyc

[TS]

Czy można scalkować elipsoidę we współrzędnych sferycznych?

[luka52]

A co masz dokładnie na myśli pisząc "scałkować elipsoidę"?
Bo jeśli chodzi np. o obliczenie elipsoidy we współrzędnych sferycznych to rachunki nie wyglądają ciekawie (spróbuj sam wyznaczyć jak zmieniałby się promień).

[TS]

Obliczyć jej V. No właśnie z R nie za bardzo to widzę..
Jak byłoby najlatwiec to policzyć?

[luka52]

Na PlanetMath znajduje się ciekawy artykuł jak to obliczyć ... psoid.html .

[Amon-Ra]

Równanie elipsoidy:

\(\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\leqslant 1}\)

Wprowadzamy współrzędne sferyczne uogólnione:

\(\displaystyle{ x=ar\cos\varphi \sin\nu \\ y=br\sin\varphi \sin\nu \\ z=cr\cos\nu}\)

Obliczając jakobian powyższego dyfeomorfizmu, otrzymujemy \(\displaystyle{ J=abcr^2\sin\nu}\).

Podstawiając współrzędne sferyczne do równania elipsoidy, dostajemy równanie \(\displaystyle{ r^2\leqslant 1}\), co odpowiada równaniu kuli o promieniu równym 1 w nowym układzie współrzędnych. Na tej podstawie:

\(\displaystyle{ V=\iiint_V dxdydz=\int_{0}^{2\pi}d\varphi t_{0}^{\pi} d\nu t_{0}^{1}abcr^2\sin\nu dr=\frac{4}{3}\pi abc}\)

Nietrudno zgadnąć, że jeżeli \(\displaystyle{ a=b=c=R}\), to \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2 qslant R^2}\) i \(\displaystyle{ V=\frac{4}{3}\pi R^3}\).

[iza_zizi]

Moim zdaniem sa bledy.
Z calki na \(\displaystyle{ V}\) zaproponowanej przez Amon-Ra wychodzi wynik \(\displaystyle{ \frac{2}{3}\pi abc}\) a nie \(\displaystyle{ \frac{4}{3}\pi abc}\) - prosze o sprawdzenie.

Czy nie powinno byc: \(\displaystyle{ J=abc ^{2}cos \nu}\) dla \(\displaystyle{ -\frac{\pi}{2} \leqslant \nu \leqslant \frac{\pi}{2}}\) bardzo prosze o rozpatrzenie mojej propozycji!

[luka52]

Mylisz się, sposób jaki przedstawił Amon-Ra jest jak najbardziej poprawny.
I tak:
- wynik wychodzi jak najbardziej poprawny, tj. \(\displaystyle{ \frac{4}{3} \pi abc}\)
- W Twojej propozycji jakobian powinien być postaci \(\displaystyle{ |J| = abc r^2 \cos \nu}\)
- Przyjrzyj się bardzo dokładnie jak Amon-Ra wprowadził układ współrzędnych sferycznych, gdyż jest to kluczowe dla całej sprawy.