Witam,
bardzo proszę o naprowadzenie na rozwiązanie:
Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ cos4x=sin3x}\)
Poniżej moja wersja rozwiązania:
\(\displaystyle{ cos^22x - sin^22x=sinx(cos^2x - sin^2x)+2sinxcos^2x
cos^22x-sin^2x=sinxcos^2x-sin^3x+2sinxcos^2x
1-2sin^22x=3sinx-4sin^3x
1-8sin^2x(1-sin^2x)=3sinx-4sin^3x
8sin^4x+4sin^3x-8sin^2x-3sinx+1=0
sinx=t
8t^4+4t^3-8t^2-3t+1=0}\)
W tym miejscu stanąłem. Nie wiem, jak dokończyć rozwiązanie.
Może ktoś wpadnie na lepszy pomysł rozwiązania tego równania.
Dodam, że zadanie pochodzi z kursu korespondencyjnego Politechniki Wrocławskiej, Październik 1999r.
Dziękuję za wszelką pomoc.
Pozdrawiam serdecznie.
Równanie trygonometryczne
-
- Użytkownik
- Posty: 6607
- Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 119 razy
- Pomógł: 1823 razy
Równanie trygonometryczne
\(\displaystyle{ (cos 2x)^2 - (sin 2x)^2= sinx(1-2sin^2x)+2sinx(1-sin^2x) \\
(1-2sin^2x)^2 - (2sin x cosx )^2= sinx(1-2sin^2x)+2sinx(1-sin^2x) \\
(1-2sin^2x)^2 - 4sin^2 x(1-sin^2x)= sinx(1-2sin^2x)+2sinx(1-sin^2x) \\
sinx=t\\
(1-2t^2)^2 - 4t^2(1-t^2)= t(1-2t^2)+2t(1-t^2) \\}\)
Teraz powinno pojsc latwiej POZDRO
(1-2sin^2x)^2 - (2sin x cosx )^2= sinx(1-2sin^2x)+2sinx(1-sin^2x) \\
(1-2sin^2x)^2 - 4sin^2 x(1-sin^2x)= sinx(1-2sin^2x)+2sinx(1-sin^2x) \\
sinx=t\\
(1-2t^2)^2 - 4t^2(1-t^2)= t(1-2t^2)+2t(1-t^2) \\}\)
Teraz powinno pojsc latwiej POZDRO
-
- Użytkownik
- Posty: 8601
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1816 razy
Równanie trygonometryczne
A może tak:
\(\displaystyle{ \cos 4x = \sin ft( \frac{\pi}{2} - 4x \right)}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ \sin ft( \frac{\pi}{2} - 4x \right) = \sin 3x \ldots}\)
\(\displaystyle{ \cos 4x = \sin ft( \frac{\pi}{2} - 4x \right)}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ \sin ft( \frac{\pi}{2} - 4x \right) = \sin 3x \ldots}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 236
- Rejestracja: 24 lis 2006, o 22:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: -----
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 26 razy
Równanie trygonometryczne
Inne rozwiazanie:
\(\displaystyle{ sinx=cos(x+\frac{\pi}{2})}\)
A wiec \(\displaystyle{ sin3x=cos4x}\) wtedy, gdy:
\(\displaystyle{ 3x+2\pi k =4x+\frac{\pi}2+2\pi n=}\)
\(\displaystyle{ x=2\pi k-2\pi n-\frac{\pi}{2}=2\pi(k-n)-\frac{\pi}{2}}\)
zalozmy, ze k-n=p, wtedy rozwiazaniem bedzie:
\(\displaystyle{ x=2\pi m-\frac{\pi}{2}}\)
\(\displaystyle{ sinx=cos(x+\frac{\pi}{2})}\)
A wiec \(\displaystyle{ sin3x=cos4x}\) wtedy, gdy:
\(\displaystyle{ 3x+2\pi k =4x+\frac{\pi}2+2\pi n=}\)
\(\displaystyle{ x=2\pi k-2\pi n-\frac{\pi}{2}=2\pi(k-n)-\frac{\pi}{2}}\)
zalozmy, ze k-n=p, wtedy rozwiazaniem bedzie:
\(\displaystyle{ x=2\pi m-\frac{\pi}{2}}\)