Problem z symbolem nieoznaczonym

[koqwax]

Jaka jest granica ciągu

\(\displaystyle{ \lim_{n\to } ft(\left\cos{(\frac{a}{\sqrt{n}}\right)}\right)^{n}}\) gdzie \(\displaystyle{ a R\}\)

Natknąłem sie na symbol nieoznaczony \(\displaystyle{ 1^{\infty}}\) i nie mam pojęcia co z nim zrobić.

[Lady Tilly]

w przypadku \(\displaystyle{ 1^{\infty}}\) mamy:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}(1+(f(x))^{u(x)}}\)

[mol_ksiazkowy]

\(\displaystyle{ \left(\left\cos{(\frac{a}{\sqrt{n}}\right)}\right)^{n} = (cos{(\frac{a}{\sqrt{n})})^{\frac{1}{cos(\frac{a}{\sqrt{n}})-1}})^{n(cos(\frac{a}{\sqrt{n}})-1)}}\)


\(\displaystyle{ lim \ cos{(\frac{a}{\sqrt{n}})^{\frac{1}{cos(\frac{a}{\sqrt{n}})-1}}=e}\)

[max]

Ponadto jeśli \(\displaystyle{ a 0}\):
\(\displaystyle{ n\left(\cos\frac{a}{\sqrt{n}} - 1\right) = \frac{\cos\frac{a}{\sqrt{n}} - \cos 0}{\frac{1}{n}} = \frac{-2\sin^{2} \frac{a}{2\sqrt{n}}}{\frac{4}{a^{2}}\cdot ft(\frac{a}{2\sqrt{n}}\right)^{2}}\to -\frac{a^{2}}{2}}\)
zatem granica wynosi \(\displaystyle{ \begin{cases}e^{-a^{2}/2}, \ a 0\\ 1, \ a = 0\end{cases}}\)