wyrażnie podcałkowe

[TS]

(poniżej równanie, tak podane gdyż nie mam uprawnień do wpisywania linków)
wazniak.mimuw.edu.pl/images/math/e/4/a/e4aabcbe4ef877f2f528e37646ad4bff.png

Mam wątpliwość co do drugiej linijki. Otóz -cos Π - (-cos 0) to -1 - (-1) = 0. Więc zmieniam obszar całkowania: β od 0 do Π/2 oraz jako że o zakreśla tylko półsferę, 2 przed całość:
\(\displaystyle{ \frac{2R^3}{3}\int\limits_{0}^{2\pi}(-cos\beta|^{\pi /2}_{0} ) d\alpha}\)
w nawiasie wychodzi \(\displaystyle{ 1-(-1)=2}\) a potem \(\displaystyle{ =4/3 \pi R^3 2 \pi}\) (2Π z ostatniej całki). A nie jest to wzór na objętość kuli. Proszę wskażcie mi gdzie popełniam błąd..

[Kasiula@]

Po pierwsze to \(\displaystyle{ - \cos \pi =-(-1)=1}\),więc \(\displaystyle{ -\cos\pi-(-\cos0)=1+1=2}\)

Po drugie \(\displaystyle{ -\cos\beta|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=-(0-1)=1}\)

Więc za każdym razem wychodzi poprawna objętość kuli \(\displaystyle{ \frac{4}{3}\pi R^{3}}\)

[TS]

serdeczne dzięki. pomieszała mi się okresowość cosinusa :/