mam problem z nast równaniem tzn "potrafie" je rozwiązac ale nie wychodzi dobrze...
bede wdzieczny za pomoc
\(\displaystyle{ \sqrt{1-x^2} y\prime\prime + \sqrt{1-y\prime^2}=0}\)
różniczkowe z pierwiastkami:/
-
kwijatkowski
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 25 lip 2007, o 23:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
-
Kasiula@
- Użytkownik
- Posty: 145
- Rejestracja: 24 lut 2007, o 16:18
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Podlasie
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 27 razy
różniczkowe z pierwiastkami:/
Zrobimy podstawienie:
\(\displaystyle{ y'=p, y"=\frac{dp}{dx}}\)
\(\displaystyle{ -\frac{dp}{\sqrt{1-p^{2}}}=\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}}\)
\(\displaystyle{ arccos p =arcsin x +C \iff p=\cos(arcsinx+C)}\)
Stosując wzór na cos sumy kątów i na przejścia z arcsin na arccos i odwrotnie,otrzymujemy:
\(\displaystyle{ p=C_{1}\sqrt{1-x^{2}}-x\sqrt{1-C_{1}^{2}}}\)
\(\displaystyle{ y=\int C_{1}\sqrt{1-x^{2}}-x\sqrt{1-C_{1}^{2}} dx=\frac{1}{2}C_{1}x\sqrt{1-x^{2}}-\frac{1}{2}x^{2}\sqrt{1-C_{1}^{2}}+\frac{1}{2}C_{1}arcsinx+C_{2}}\)
\(\displaystyle{ y'=p, y"=\frac{dp}{dx}}\)
\(\displaystyle{ -\frac{dp}{\sqrt{1-p^{2}}}=\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}}\)
\(\displaystyle{ arccos p =arcsin x +C \iff p=\cos(arcsinx+C)}\)
Stosując wzór na cos sumy kątów i na przejścia z arcsin na arccos i odwrotnie,otrzymujemy:
\(\displaystyle{ p=C_{1}\sqrt{1-x^{2}}-x\sqrt{1-C_{1}^{2}}}\)
\(\displaystyle{ y=\int C_{1}\sqrt{1-x^{2}}-x\sqrt{1-C_{1}^{2}} dx=\frac{1}{2}C_{1}x\sqrt{1-x^{2}}-\frac{1}{2}x^{2}\sqrt{1-C_{1}^{2}}+\frac{1}{2}C_{1}arcsinx+C_{2}}\)