Czym jest całka?

zielony789 · Post autor: **zielony789** » 7 sie 2007, o 20:14

Może głupie pytanie ale czym tak naprawdę jest całka? Wiem że Używa się jej do obliczania objętości i powierzchni, ale w sumie rzeczy, niedawno, rozwiązując zadanie natrafiłem na ujemny wynik całkowania. Zadanie było z całek podwójnych.

luka52 · Post autor: **luka52** » 7 sie 2007, o 20:16

A czy wyjaśnienie z wikipedii wystarczy

A jeśli chodzi o ujemny wynik, to czy mógłbyś przytoczyć ten przykład?

zielony789 · Post autor: **zielony789** » 7 sie 2007, o 20:58

Byłem już na wikipedii ale nie satysfakcjonuje mnie to, przykladu teraz nie moge znalezc a czemu pytasz sie o niego?

luka52 · Post autor: **luka52** » 7 sie 2007, o 21:57

Pytam o przykład, gdyż wtedy łatwiej byłoby mi odpowiedzieć na Twoje pytanie dotyczące całki i ujemnego wyniku.

A co do pytania co to jest całka, to może:

http://mathworld.wolfram.com/Integral.html pisze:An integral is a mathematical object that can be interpreted as an area or a generalization of area.

Czyli całka jest obiektem matematycznym, który może być interpretowany jako pole lub uogulnienie pola.
Albo po prostu całkowanie jest działaniem odwrotnym do różniczkowania.

zielony789 · Post autor: **zielony789** » 7 sie 2007, o 22:15

Trudno mi jest zrozumieć jak ona działa i do czego jej się używa, generalnie korzystanie z kolejnych podręczników do analizy matematycznej i kolejne przykłady stosowania całek podwójnych i potrójnych starają sie złamać moją wiarę w siebie i to że zrozumiem temat albo Ja sam jak kto woli.

Amon-Ra · Post autor: **Amon-Ra** » 7 sie 2007, o 22:23

zielony789 pisze:Może głupie pytanie ale czym tak naprawdę jest całka?

Wcale nie głupie. Ale jaka całka - oznaczona czy nieoznaczona? Bo to dwie różne rzeczy. Całka oznaczona to liczba, nieoznaczona to funkcja. W przypadku całki oznaczonej - możesz sobie wyobrażać, iż całkowanie to dodawanie nieskończenie wielu nieskończenie małych elementów... Powiedzmy kroisz jabłko na niezwykle cienkie plasterki, potem te plasterki sklejasz ze sobą i w efekcie otrzymujesz jabłko, prawie takie samo, jak przed pocięciem . To sklejanie to analog całkowania.

Formalnie rzecz biorąc, mówiąc o całce oznaczonej, mamy na myśli leżącą w nieskończoności granicę ciągu sum całkowych, które powstają poprzez dodawanie (w przypadku całki funkcji jednej zmiennej) iloczynów elementów \(\displaystyle{ \Delta x_n}\) i wartości funkcji w punkcie pośrednim, należącym do tego elementu, czyli \(\displaystyle{ f(x_n)}\). Finalnie tworzy się granica postaci \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} ft( \sum_{i=1}^{n} f(x_i)\Delta x_i \right)}\) i o ile taka granica istnieje pod pewnymi dodatkowymi warunkami, to nazywamy ją całką oznaczoną i zapisujemy jako \(\displaystyle{ \int_{a}^{b}f(x)dx}\).

zielony789 pisze:generalnie korzystanie z kolejnych podręczników do analizy matematycznej i kolejne przykłady stosowania całek podwójnych i potrójnych starają sie złamać moją wiarę w siebie

Nie wszystko na raz. Aby wiedzieć, co znaczą "eski" podwójne i potrójne, musisz poznać sens pojedynczych.

luka52 pisze:Czyli całka jest obiektem matematycznym, który może być interpretowany jako pole lub uogulnienie pola.

Ostrożnie z takim stwierdzeniem - patrz całka oznaczona o ujemnej wartości, a przecież ujemnych pól jeszcze nie wynaleziono .

luka52 · Post autor: **luka52** » 7 sie 2007, o 22:26

Amon-Ra, oczywiście, jednak zauważ że napisane jest "który może być", więc niekoniecznie "musi być".

Amon-Ra · Post autor: **Amon-Ra** » 7 sie 2007, o 22:30

I bardzo dobrze, wszak ja nie negowałem zacytowanego zdania, a tylko zwróciłem uwagę na roztropność w przedkładaniu zastosowań nad definicję .

zielony789, jeżeli masz pytania, wątpliwości - śmiało, po to przecież jest forum, aby je rozwiewać .