wartość oczekiwana - udowodnij!

Wojteks · Post autor: **Wojteks** » 5 sie 2007, o 19:30

Zadanie polega na udowodnieniu jednej z własnosci wartosci oczekiwane z.l. x

bardzo prosze o pomoc

wrotkap · Post autor: **wrotkap** » 5 sie 2007, o 19:41

Ale jakiej własności?

Wojteks · Post autor: **Wojteks** » 5 sie 2007, o 22:12

nie ma w zadaniu napisane ktora wlasnosc trzeba udowodnic.

a z tego co wiem to wlasnosci sa takie:

1. P(X=c)=1 -> EX=c
2. x-przyjmuje wartosci nieujemne
3. E[aX+b] = aEX+b
4. \(\displaystyle{ E ft[(aX)^k \right] = a^k EX^k}\)

Poprawiłem zapis. luka52

wrotkap · Post autor: **wrotkap** » 6 sie 2007, o 08:55

Ad.1. Skoro P(X=c)=1, jest to jednopunktowy rozkład prawdopodobieństwa, więc EX = c*P(X=c) = c*1 = c.
I już jedna udowodniona.

Co do drugiego punktu to jakie x przyjmuje wartości nieujemne?

Wojteks · Post autor: **Wojteks** » 6 sie 2007, o 13:32

Ad. 2 Jesli \(\displaystyle{ X\geqslant 0}\) to \(\displaystyle{ E[X]\geqslant 0}\)

wrotkap · Post autor: **wrotkap** » 6 sie 2007, o 21:11

Ad.2. Z def. dla rozkładu dyskretnego \(\displaystyle{ EX=\sum_{i=1}^{n}\left( p_i\cdot x_i\right)}\), ponieważ \(\displaystyle{ x_i\ge 0 \quad \forall x}\) oraz \(\displaystyle{ p_i\ge 0\quad \forall p_i}\) wtedy \(\displaystyle{ \left( p_i\cdot x_i\right)\ge 0}\)i oczywiście powyższa suma też jest większa 0.
Dla rozkładu ciągłego mamy analogicznie (mamy wtedy całkę oznaczoną z funkcji nieujemnej x*f(x)), która jest nieujemna.

Ad.3.