1 okropny wielomian

[szczepanik89]

hej czy moglby mi ktos pomoc to rozlozyc siedze nad tym pol dnia i tylko do tego doszlem ze jednym z pierwiastkow jest 3 eh;/

\(\displaystyle{ 2x^{4} + 5|x|^{3} = 23x^{2} + 38|x| -24}\)

z gory dzieki za pomoc bo tu jest duzo liczenia jak dla mnie;/;/

[ Dodano: 5 Sierpnia 2007, 19:50 ]
juz policzylem pierwiastki to -3, -1/2 , 1/2 , 3

[Plant]

Niech t=|x|, zał. t≥0
\(\displaystyle{ 2t^{4} + 5t^{3} = 23t^{2} + 38t -24}\)
\(\displaystyle{ (t-3)(2t^3+11t^2+10t-8)}\)
\(\displaystyle{ 2(t-3)(t-\frac{1}{2})(t^2+6t+8)=0}\)
\(\displaystyle{ 2(t-3)(t-\frac{1}{2})(t+2)(t+3)=0}\)
\(\displaystyle{ t=3 t=\frac{1}{2} t=-2 t=-3}\) Dwa ostatnie są sprzeczne z założeniami, więc:
\(\displaystyle{ t\in\{3,\frac{1}{2}\} x\in\{3,-3,\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\}}\)

[Tristan]

Rozważ dwie sytuacje. W pierwszej, gdy \(\displaystyle{ x q 0}\) masz równanie \(\displaystyle{ 2x^4 +5x^3 -23x^2 -38x+24=0}\). Na podstawie twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych szybko znajdujemy, że pierwiastkamia są -4 i 3. Dzielimy więc ten wielomian przez (x+4)(x-3) i otrzymujemy \(\displaystyle{ 2x^2 +3x-2}\), tutaj liczymy wyróżnik itd. Ostatecznie dostajemy, że \(\displaystyle{ x=\frac{1}{2} x=3 x=-2 x=-4}\). Rozwiązania ujemne nas nie interesują, czyli \(\displaystyle{ x=\frac{1}{2} x=3}\). Teraz wystarczy jeszcze, że rozważysz przypadek \(\displaystyle{ x}\)

[JHN]

Niech \(\displaystyle{ |x|=t \ge 0}\). Wtedy
\(\displaystyle{ 2t^{4} + 5t^{3} - 23t^{2} - 38t +24=0}\)
Wykorzystując tw. o pierwiastku wymiernym wielomianu o współczynnikach całkowitych i tw. Bezoute'a (dokładniej to z EXCEL-a) mamy:
\(\displaystyle{ 2(t+4)(t+2)\left(t-{1\over2}\right)(t-3)=0}\)
Wobec założeń mamy jednak
\(\displaystyle{ |x|={1\over2}\vee |x|=3}\)
I ostatecznie
\(\displaystyle{ x\in \left\{-3,-{1\over2},{1\over2},3\right\}}\)

Pozdrawiam
[edit] szybcy jesteście! @Plant w trzecim wierszu zgubiłeś znak równości.

[Plant]

Wykorzystując tw. o pierwiastku wymiernym wielomianu o współczynnikach całkowitych i tw. Bezoute'a

Bez bólu można go ręcznie rozłożyć

[JHN]

...dokładniej to z EXCEL-a...

[szczepanik89]

dzieki za pomoc;] tyle ze ja juz to sam wczesniej zrobilem co zapisalem;] no ale wasza szybkosc to mnie jednak zadziwia;];] pzdr