Monotoniczność i ograniczoność
Monotoniczność i ograniczoność
Zbadaj monotoniczność i ograniczoność ciągu:
\(\displaystyle{ a_{n}=\frac{n}{n^{2}+1}}\)
\(\displaystyle{ a_{n}=\frac{n}{n^{2}+1}}\)
Monotoniczność i ograniczoność
czy te zadanie jest dobrze zrobione?? jaka jest monotoniczność tej funkcji??
- Tristan
- Użytkownik
- Posty: 2353
- Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 557 razy
Monotoniczność i ograniczoność
Tutaj nie masz żadnej funkcji tylko ciąg. przemk20 skorzystał z nierówności między średnią arytmetyczną i geometryczną, skąd uzyskał ograniczenie. Co do monotoniczności, to \(\displaystyle{ a_{n+1}-a_{n}=\frac{n+1}{ (n+1)^2 +1} - \frac{n}{n^2 +1}= \frac{ (n+1)(n^2 +1) - n(n^2 +2n+2) }{ (n^2+2n+2)(n^2+1)}= \frac{n^3 +n+n^2 +1-n^3 - 2n^2 - 2n}{(n^2+2n+2)(n^2+1)}= \frac{-n^2-n+1}{(n^2+2n+2)(n^2+1)} }\)
-
- Użytkownik
- Posty: 6607
- Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 119 razy
- Pomógł: 1823 razy
Monotoniczność i ograniczoność
Monotonicznosc:
\(\displaystyle{ a_{n+1}-a_{n}=\frac{n+1}{(n+1)^{2}+1}-\frac{n}{n^{2}+1}=
\frac{n+1}{n^{2}+2n+2}-\frac{n}{n^{2}+1}=
\frac{(n+1)(n^{2}+1)-n(n^{2}+2n+2)}{(n^{2}+2n+2)(n^{2}+1)}=
\frac{n^{3}+n^{2}+n+1 -n^{3}-2n^{2}-2n}{(n^{2}+2n+2)(n^{2}+1)}=
\frac{-n^{2}-n+1}{(n^{2}+2n+2)(n^{2}+1)}\approx
\frac{-(n-1,62)(n-0,06)}{(n^{2}+2n+2)(n^{2}+1)}
\\
\forall_{n\in\mathbb{N}}\ \ (n^{2}+2n+2)(n^{2}+1)>0\\
\forall_{n\in\mathbb{N}}\ \ -(n-1,62)(n-0,06)}\)
\(\displaystyle{ a_{n+1}-a_{n}=\frac{n+1}{(n+1)^{2}+1}-\frac{n}{n^{2}+1}=
\frac{n+1}{n^{2}+2n+2}-\frac{n}{n^{2}+1}=
\frac{(n+1)(n^{2}+1)-n(n^{2}+2n+2)}{(n^{2}+2n+2)(n^{2}+1)}=
\frac{n^{3}+n^{2}+n+1 -n^{3}-2n^{2}-2n}{(n^{2}+2n+2)(n^{2}+1)}=
\frac{-n^{2}-n+1}{(n^{2}+2n+2)(n^{2}+1)}\approx
\frac{-(n-1,62)(n-0,06)}{(n^{2}+2n+2)(n^{2}+1)}
\\
\forall_{n\in\mathbb{N}}\ \ (n^{2}+2n+2)(n^{2}+1)>0\\
\forall_{n\in\mathbb{N}}\ \ -(n-1,62)(n-0,06)}\)
- JHN
- Użytkownik
- Posty: 668
- Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 206 razy
Monotoniczność i ograniczoność
Pamiętajmy, że ciąg jest funkcją. Określoną na zbiorze liczb całkowitych dodatnich -ciąg nieskończony (albo zbiorze początkowych liczb całkowitych dodatnich - ciąg skończony) ale jednak funkcją!Tristan pisze:Tutaj nie masz żadnej funkcji tylko ciąg....
Pozdrawiam