Z definicji obliczyć granicę funkcji:
\(\displaystyle{ lim\frac{n^{3}+n-1}{n^{3}-n^{2}-n+100}}\)
Z definicji obliczyć granicę funkcji
Z definicji obliczyć granicę funkcji
tak w nieskończoności...a czy z Definicji Heinego , czy Definicji Cauchy'ego to nie wiem nie podano 
Z definicji obliczyć granicę funkcji
chyba tak...pisze chyba bo tak mi babka podała ale może się pomyliła...
-
max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
Z definicji obliczyć granicę funkcji
No dobra, będą 3 wersje:
1. Zakładam, że liczymy granicę ciągu \(\displaystyle{ a_{n} = \frac{n^{3} + n - 1}{n^{3} - n^{2} - n + 100}}\)
Wykażemy z definicji granicy ciągu, że \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} a_{n} = 1}\)
Przy dowolnym ustalonym \(\displaystyle{ \varepsilon > 0}\) przekształcamy na równoważną nierówność:
\(\displaystyle{ \left|\frac{n^{3} + n - 1}{n^{3} - n^{2} - n + 100} - 1\right| }\)
Zauważmy, że ponieważ dla dowolnego \(\displaystyle{ n > 2}\):
\(\displaystyle{ \left|\frac{n^{2} + 2n - 101}{n^{3} - n^{2} - n + 100}\right| }\)
to nasza nierówność wyjściowa zajdzie w szczególności wtedy, gdy \(\displaystyle{ n > 2}\) oraz:
\(\displaystyle{ \frac{3}{n - 2} }\)
czyli gdy \(\displaystyle{ n > n_{0} = \max\left\{2, \frac{3}{\varepsilon} + 2\right\}}\)
zatem dla każdego \(\displaystyle{ \varepsilon > 0}\) istnieje takie \(\displaystyle{ n_{0}}\), że dla każdego \(\displaystyle{ n > n_{0}}\) zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ \left|\frac{n^{3} + n - 1}{n^{3} - n^{2} - n + 100} - 1\right| }\)
co, na mocy definicji granicy ciągu, kończy dowód.
2. Zakładam, że liczymy granicę funkcji \(\displaystyle{ f(n) = \frac{n^{3} + n - 1}{n^{3} - n^{2} - n + 100}, \ n\in\mathbb{R}}\) w \(\displaystyle{ +\infty}\) i mamy posłużyć się definicją Heinego.
Obieramy dowolny ciąg \(\displaystyle{ (a_{n})_{n\in \mathbb{N}}}\) rozbieżny do \(\displaystyle{ +\infty}\) i liczymy:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}f(a_{n}) = \lim_{n\to \infty}\left(\frac{a_{n}^{3} + a_{n} - 1}{a_{n}^{3} - a_{n}^{2} - a_{n} + 101}\right) =\\
= \lim_{n\to \infty}\left(\frac{1 + \frac{1}{a_{n}^{2}} - \frac{1}{a_{n}^{3}}}{1 - \frac{1}{a_{n}} - \frac{1}{a_{n}^{2}} + \frac{101}{a_{n}^{3}}}\right) = 1}\)
3. Zakładając, że liczymy granicę funkcji \(\displaystyle{ f(n) = \frac{n^{3} + n - 1}{n^{3} - n^{2} - n + 100}, \ n\in\mathbb{R}}\) w \(\displaystyle{ +\infty}\) i mamy posłużyć się definicją Cauchy'ego - możemy skorzystać z rozumowania przedstawionego w 1., gdyż zastosowane tam szacowanie zachodzi również dla rzeczywistych \(\displaystyle{ n > 2}\)
1. Zakładam, że liczymy granicę ciągu \(\displaystyle{ a_{n} = \frac{n^{3} + n - 1}{n^{3} - n^{2} - n + 100}}\)
Wykażemy z definicji granicy ciągu, że \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} a_{n} = 1}\)
Przy dowolnym ustalonym \(\displaystyle{ \varepsilon > 0}\) przekształcamy na równoważną nierówność:
\(\displaystyle{ \left|\frac{n^{3} + n - 1}{n^{3} - n^{2} - n + 100} - 1\right| }\)
Zauważmy, że ponieważ dla dowolnego \(\displaystyle{ n > 2}\):
\(\displaystyle{ \left|\frac{n^{2} + 2n - 101}{n^{3} - n^{2} - n + 100}\right| }\)
to nasza nierówność wyjściowa zajdzie w szczególności wtedy, gdy \(\displaystyle{ n > 2}\) oraz:
\(\displaystyle{ \frac{3}{n - 2} }\)
czyli gdy \(\displaystyle{ n > n_{0} = \max\left\{2, \frac{3}{\varepsilon} + 2\right\}}\)
zatem dla każdego \(\displaystyle{ \varepsilon > 0}\) istnieje takie \(\displaystyle{ n_{0}}\), że dla każdego \(\displaystyle{ n > n_{0}}\) zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ \left|\frac{n^{3} + n - 1}{n^{3} - n^{2} - n + 100} - 1\right| }\)
co, na mocy definicji granicy ciągu, kończy dowód.
2. Zakładam, że liczymy granicę funkcji \(\displaystyle{ f(n) = \frac{n^{3} + n - 1}{n^{3} - n^{2} - n + 100}, \ n\in\mathbb{R}}\) w \(\displaystyle{ +\infty}\) i mamy posłużyć się definicją Heinego.
Obieramy dowolny ciąg \(\displaystyle{ (a_{n})_{n\in \mathbb{N}}}\) rozbieżny do \(\displaystyle{ +\infty}\) i liczymy:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}f(a_{n}) = \lim_{n\to \infty}\left(\frac{a_{n}^{3} + a_{n} - 1}{a_{n}^{3} - a_{n}^{2} - a_{n} + 101}\right) =\\
= \lim_{n\to \infty}\left(\frac{1 + \frac{1}{a_{n}^{2}} - \frac{1}{a_{n}^{3}}}{1 - \frac{1}{a_{n}} - \frac{1}{a_{n}^{2}} + \frac{101}{a_{n}^{3}}}\right) = 1}\)
3. Zakładając, że liczymy granicę funkcji \(\displaystyle{ f(n) = \frac{n^{3} + n - 1}{n^{3} - n^{2} - n + 100}, \ n\in\mathbb{R}}\) w \(\displaystyle{ +\infty}\) i mamy posłużyć się definicją Cauchy'ego - możemy skorzystać z rozumowania przedstawionego w 1., gdyż zastosowane tam szacowanie zachodzi również dla rzeczywistych \(\displaystyle{ n > 2}\)