Całka z funkcji homograficznej

[sparrow_88]

Podobnie jak w poprzednim temacie otrzymuję inny wynik całki:
\(\displaystyle{ \int \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\cdot\frac{1}{x}dx}\)
ja dochodzę do:
\(\displaystyle{ -2\cdot \ln\left( \frac{2x}{1+x}\right) +4\arctg\left( \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right)+C}\)
a autorowi wyszło:
\(\displaystyle{ \ln(1-\sqrt{1-x^2})-\ln(x)-\arcsin(x)+C}\)
stosuję podstawienie: \(\displaystyle{ u^2=\frac{1-x}{1+x}}\) z czego mam: \(\displaystyle{ x=\frac{1-u^2}{u^2+1}}\) i \(\displaystyle{ dx= \frac{-4u}{(u^2+1)^2}du}\)
tak jak ostatnio proszę o sprawdzenie mojego wyniku i o naprowadzenia na rozwiązanie autora

[Kasiula@]

Zgodnie z Twoim podstawieniem otrzymujemy całkę:
\(\displaystyle{ \int \frac{4u^{2}}{(u-1)(u+1)(u^{2}+1)}du= t \frac{1}{u-1}-\frac{1}{u+1}+\frac{2}{u^{2}+1}du = \ln|u-1|-\ln|u+1|+2arctg(u)+C= ln|\frac{u-1}{u+1}|+2arctg(\sqrt{\frac{1-x}{1+x}})+ C= \ln|\frac{1-\sqrt{1-x^{2}}}{x}|+2arctg(\sqrt{\frac{1-x}{1+x}})+ C= \ln|1-\sqrt{1-x^{2}}| - \ln|x|+2arctg(\sqrt{\frac{1-x}{1+x}})+ C}\)

Nie wiem co zrobic z tym arctg,są na to wzory. Niestety nie mam tablic pod reką,a na pamiec ich nie znam Jeśli masz wzor na przejscie z arctg na arcsin to powinno sie udac dojs do wlasciwego wyniku. Nie pokoi mnie ta 2 przed arctg ??: Szukalam bledu,ale nie znalazlam. A moze ona powinna tam byc??? Moze zredukuje sie po podstawieniu wzorow na arcsin. Bede szukac bledu,ale poki co to przesylam Ci to co mi wyszlo.

Pozdrawiam

[Rogal]

Ludziska - jeśli po zróżniczkowaniu wychodzi funkcja podcałkowa, to dajcie spokój, że inne postacie wychodzą, to normalne przecież jest : )

[luka52]

Osobiście nie stosowałbym takiego podstawienia. Zauważ, że:
\(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{1-x}{1+x} } \frac{1}{x} = \frac{1-x}{x \sqrt{1- x^2}} = \\ = \frac{1}{x \sqrt{1 - x^2}} - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}\)
I teraz dopiero należy zacząć całkować.

[sparrow_88]

Sparwdziłem jeszcze dwa razy różniczkę podstawienia, rozkład na ułamki proste i przekształcenia i chyba masz błąd Kasiula@ bo u mnie tak to wygląda:
\(\displaystyle{ \int\frac{-4u^2}{(1-u)(1+u)(u^2+1)}dx=-2\int\frac{1}{1-u}du-2\int\frac{1}{1+u}du+4\int\frac{1}{u^2+1}du}\)
co prowadzi do wyniku który podałem wcześniej, tak jakbyś zgubiła ten minus; wiem że to normalne sam się o tym przekonałem, dlatego chciałbym żeby jednak ktoś spradził czy z moim podstawieniem otrzyma to samo, a z całką Luka52 jeszcze sobie nie poradziłem ??:

[luka52]

Kasiula@, przedstawiła poprawne rozwiązanie (a jeżeli ktoś wciąż ma wątpliwości niechaj zróżniczkuje wynik!).
sparrow_88, sprawdź swój rozkład na sumę ułamków prostych jeszcze raz.

[rtuszyns]

Można tak:
\(\displaystyle{ \int\frac{4u^2}{(u-1)(u+1)(u^2+1)}du=\dots =4\left[\int\frac{du}{u^2-1}-\int\frac{du}{u^4-1}\right]=-4\int\frac{du}{1-u^2}+4\int\frac{du}{1-u^4}=\dots =\ln\left |\frac{1-u}{1+u}\right |+2\arctan u+{\cal C}_1=\dots}\)
Więc rozumowanie i obliczenia Kasiula@ są prawidłowe

[sparrow_88]

no wiem, że są poprawne; nie kopcie już leżącego znalazłem mój, jak zwykle, głupi błąd