Równanie zespolone

[zielony789]

No więc treść zadania brzmi tak:

Wyznacz wszystkie liczby zespolone, które są równe, kwadratowi odwrotności swojego sprzeżenia.

Z góry dziękuję za pomoc

[Tristan]

Zapoznaj się z regulaminem, szczególnie z nazewnictwem tematów. Różne zadania dawaj do różnych działów, bo inaczej właśnie będzie bałagan.
Co do samego zadania, to niech \(\displaystyle{ z=a+bi}\). Wtedy z treści zadania otrzymujemy równanie \(\displaystyle{ a+bi=\frac{1}{ (a-bi)^2 }}\). Mamy z tego, że \(\displaystyle{ (a+bi)(a-bi)(a-bi)=1}\), więc \(\displaystyle{ (a^2+b^2)(a-bi)=1}\). Wymnóż to do końca i porównań część rzeczywistą i urojoną po prawej i lewej stronie równania, skąd dostaniesz układ równań \(\displaystyle{ a^3+ab^2=1 -a^2 b- b^3=0}\). Z rozwiązaniem tego układu już powinieneś sobie poradzić.

[zielony789]

Z tych dwóch równań otrzymałem taki oto układ:

a*(a^+b^2)=1
b(a^2+b^2)=0

W drugim równaniu przyrównałem do zera b oraz (a^2+b^2).

Dla b=0 wyszło mi a=1 a dla (a^2+b^2) wyszła sprzeczność . Czy jest to poprawne rozwiązanie?

[Tristan]

Tak. Przy okazji radzę zapoznać się z LaTeX-em .

[zielony789]

Mam pytanie jak rozwiązać pierwsze równanie z mojego poprzedniego posta? Czy może to co podałem jako odpowedź jest wystarczające dla tego zadania?

[Tristan]

Skoro \(\displaystyle{ b (a^2 +b^2)=0}\), to \(\displaystyle{ b=0 a^2 + b^2=0}\). Jednak druga możliwość prowadzi do sprzeczności. Musi być więc \(\displaystyle{ b=0}\). Wstawiając to do pierwszego równania otrzymujemy \(\displaystyle{ a a^2=1}\), więc \(\displaystyle{ a^3=1}\). Ponieważ z założenia \(\displaystyle{ a \mathbb{R}}\), czyli \(\displaystyle{ a=1}\).