taki tam szereg:)

[x_x_x]

potrzebuję zbadać zbieżność takiego oto szeregu, ale generalnie anal u mnie leży to jakoś nie bardzo sam daję radę :/
\(\displaystyle{ \left.\sum_{n=0}^{\infty}\right.\frac{e^{n}n!}{n^{n}}}\)
Z gróry dzięki za pomoc:)

[Kostek]

Mozna skorzystac np ze wzoru Stirlinga oraz kryterium porównawczego
oznaczmy nasz szereg jako \(\displaystyle{ S}\) i stosujac wzór Stirlinga:
\(\displaystyle{ e^{n}\frac{\sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^{n}}{n^n}e^{\frac{1}{12n+1}}}\)

[max]

Można też elementarnie skorzystać z kryterium d'Alemberta:
\(\displaystyle{ \mathcal{D}_{n} = \frac{\frac{e^{n + 1}\cdot (n + 1)!}{(n + 1)^{n+1}}}{\frac{e^{n}\cdot n!}{n^{n}}} = \frac{e\cdot (n + 1)}{(n + 1)\cdot \left(\frac{n + 1}{n}\right)^{n}} = \frac{e}{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n}}}\)
i ponieważ \(\displaystyle{ \left(1 + \tfrac{1}{n}\right)^{n}}\) dąży do \(\displaystyle{ e}\) rosnąc, to będzie dla każdego \(\displaystyle{ n}\):
\(\displaystyle{ \left(1 + \tfrac{1}{n}\right)^{n} 1\\
\mathcal{D}_{n} > 1}\)
czyli szereg jest rozbieżny.

[x_x_x]

ok dzięki za pomoc ))