Równanie różniczkowe

[jaco83]

Czy wie ktoś jak rozwiązać taką równość

x"+2x'+5x=e-2t gdzie x=x(t) , t€R

[luka52]

Tak, np. ja wiem.



Ale tak na poważnie, to czy przypadkiem to równanie nie powinno wyglądać tak:
\(\displaystyle{ x'' + 2x' + 5x = e^{2t}}\)

[jaco83]

No tak masz racje właśnie tak to wygląda. Jeśli wiesz jak to zrobić bo byłbym wdzięczny gdybys mi ponógł to rozwiązać.

[luka52]

Na początek układamy równanie charakterystyczne r. jednorodnego i rozwiązujemy je:
\(\displaystyle{ r^2 + 2r + 5 = 0}\) Rozwiązaniem tego równania jest \(\displaystyle{ r = -1 2 \imath}\)
Mamy zatem: \(\displaystyle{ x_1 = e^{-t} ft( C_1 \cos 2t + C_2 \sin 2t \right)}\)
Następnie aby wyznaczyć całkę szczególną naszego równania posłużymy się metodą uzmienniania stałych; mamy:
\(\displaystyle{ x_2 = A(t) \cos 2t + B(t) \sin 2t}\)
Zachodzą następujące związki:
\(\displaystyle{ A'(t) \cos 2t + B'(t) \sin 2t = 0\\
- 2 A'(t) \sin 2t + 2 B'(t) \cos 2t = e^{2t}}\)
Mając te dwa równania należy wyznaczyć funkcje A i B, jednak to zadanie pozostawiam Tobie. W razie kłopotów - pisz.