Pochodne

[dari2876]

Jak obliczyć takie pochodne?
a) \(\displaystyle{ f(t) = \frac{{\sin t + \cos t}}{{2\sin 2t}}}\)
b) \(\displaystyle{ f(x) = \ln tg(\frac{\pi }{4} + \frac{x}{2})}\)
c) \(\displaystyle{ f(x) = \ln \frac{{\sqrt {x^2 + 1} - x}}{{\sqrt {x^2 + 1} + x}}}\)

[soku11]

a)
\(\displaystyle{ f'(t)=\frac{1}{2}\cdot \frac{(sint+cost)'sin2t-(sint+cost)(sin2t)'}{sin^{2}2t}=
\frac{(cost-sint)sin2t-(sint+cost)(2cos2t)}{2sin^{2}2t}}\)

Pewnie mozna cos z tym jeszcze zrobic ale zostawie to tak jak jest

c)
\(\displaystyle{ f(x) = \ln \frac{{\sqrt {x^2 + 1} - x}}{{\sqrt {x^2 + 1} + x}}=
f(x) = \ln \frac{(\sqrt {x^2 + 1} - x)^{2}}{(\sqrt {x^2 + 1} + x)(\sqrt {x^2 + 1} - x)}=
f(x) = \ln (\sqrt {x^2 + 1} - x)^{2}=2ln(\sqrt {x^2 + 1} - x)\\
f'(x)=2\cdot \frac{1}{\sqrt {x^2 + 1} - x}\cdot (\sqrt {x^2 + 1} - x)'=
\frac{2}{\sqrt {x^2 + 1} - x}\cdot (\frac{1}{2\sqrt {x^2 + 1}}\cdot 2x - 1)=
\frac{2}{\sqrt {x^2 + 1} - x}\cdot (\frac{x}{\sqrt {x^2 + 1}} - 1)}\)

Powinno byc OK.
POZDRO

[luka52]

b) f'(x) = 0
Czy aby poprawnie przepsiałeś przykład?

[max]

a) Można trochę uprościć rachunki:
\(\displaystyle{ \left(\frac{\sin t + \cos x}{2\sin 2t}\right)' = ft(\frac{\sin t + \cos t}{4\sin t\cos t}\right)' =\\
= ft(\frac{1}{4}\left(\frac{1}{\cos t} + \frac{1}{\sin t}\right) \right)' = \frac{1}{4}\left(\frac{\sin t}{\cos^{2}t} - \frac{\cos t}{\sin^{2}t}\right)}\)

c) tak jak policzył soku11 jest OK poza ostatnią równością..

[soku11]

Poprawilem Nie zauwazylem tej jedynki i dlatego taka glupote napisalem. POZDRO

[dari2876]

przykład b) na pewno jest dobrze przepisany. Ma wyjść \(\displaystyle{ \frac{1}{cosx}}\) ale nie wiem jak to to rozwiązać żeby taka odpowiedź wyszła. Zadania są z Analizy matematycznej Krysickiego i Włodarskiego.

[max]

'Ciekawy' jest ten przykład... \(\displaystyle{ \tan \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}\right) = -1}\) i wzór nie ma sensu liczbowego - zapewne kolejny błąd drukarski jakich w Krysickim chyba niemało...

[ariadna]

dari2876, brakuje i to powiem nawet: x-sa.
Popraw;)

[dari2876]

Nie zauważyłem, że był jednak błąd. Te zadania miałem na kartce i na niej był błąd. Już go poprawiłem. Sorki

[max]

\(\displaystyle{ \left(\ln \tan ft(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}\right)\right)' = \frac{1}{\tan ft(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}\right)}\cdot \frac{1}{\cos^{2}\left(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}\right)}\cdot \frac{1}{2} = \\
= \frac{1}{2\sin ft(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}\right) \cos ft(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}\right)} = \frac{1}{\sin (\frac{\pi}{2} + x)} = \frac{1}{\cos x}}\)